Melyek az f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) aszimptotái és eltávolítható megszakításai?

Válasz:

#f (X) # vízszintes aszimptotával rendelkezik # Y = 0 # és egy függőleges aszimptóta # X = 0 #

Magyarázat:

Adott:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• A számláló tartománya #sqrt (X) # jelentése # 0, oo #

• A nevező tartománya # e ^ x - 1 # jelentése # (- oo, oo) #

• A nevező nulla # e ^ x = 1 #, amely a valós értékekre #x# csak akkor fordul elő, ha # X = 0 #

Ezért a #f (X) # jelentése # (0, oo) #

A # E ^ x #, nekünk van:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (fehér) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (fehér) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (fehér) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Így:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (fehér) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (fehér) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (fehér) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

és:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Így #f (X) # függőleges aszimptotával rendelkezik # X = 0 # és egy vízszintes aszimptóta # Y = 0 #

grafikon {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6.1, 13.9, -2.92, 7.08}