Hogyan találja meg a 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0 összes megoldását?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # mert

#x {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # hol #n a ZZ-ben

megfejt: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Először cserélje ki # cos ^ 2 x # által # (1 - sin ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

Hívás # sin x = t #, nekünk van:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Ez az űrlap négyzetes egyenlete # a ^ 2 + bt + c = 0 # amely gyorsbillentyűvel megoldható:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

vagy faktoring # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

Egy igazi gyökér # t_1 = -1 # és a másik pedig # t_2 = 1/2 #.

Ezután oldja meg a két alapvető trigger funkciót:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# # Rarr # x_1 = pi / 2 + 2 npi # (az #n a ZZ-ben)

és

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# # Rarr # x_2 = pi / 6 + 2 npi #

vagy

# # Rarr # x_2 = (5pi) / 6 + 2 npi #

Ellenőrizze az (1) egyenletet:

#cos (3pi / 2) = 0; sin (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (helyes)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; sin (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (helyes)