Kérem, valaki segítsen megoldani a problémát?

Válasz:

Próbálja ki a változást # x = tan u #

Lásd lentebb

Magyarázat:

Tudjuk # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

A javasolt változtatással

# dx = sec ^ 2u du #. Lehetővé teszi az integrál helyettesítését

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = Sinu +, C #

Így a módosítás visszavonása:

# U = arctanx # és végül is van

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Válasz:

#COLOR (kék) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Magyarázat:

Próbáljuk meg használni a Trigonometrikus helyettesítést az integrál megoldásához. Ehhez egy derékszögű háromszöget alakítunk ki #Delta ABC # és jelölje meg az oldalakat oly módon, hogy a Pythagoras-képlet segítségével az integrál érvében lévő kifejezéseket az alábbi módon nyerjük:

Szög # / _ B = théta # ellentétes oldala van #x# és a szomszédos oldalon #1#. Pythagoras képletének használata:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # eredmények:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # az ábrán látható módon.

Most írjuk meg a három legalapvetőbb trigonometrikus függvényt # # Theta:

# Sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Tantheta = x / 1 = X #

Most ki kell használni ezeket az egyenleteket az integrált argumentum különböző darabjainak trigonometrikus kifejezésekben történő megoldására. Használjuk # # Tantheta:

# Tantheta = x #

Vegyük mindkét oldal származékait:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Tól # # Costheta egyenlet, megoldható #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Ha az egyenlet mindkét oldalát felemeljük #3# kapunk:

# Sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Most helyettesíthetjük azt, amit számítottunk a probléma integráljává, hogy trigonometrikus integrálissá alakítsuk:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2theteta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (piros) (sec ^ 2theta) / (szektetakancelcolor (piros) (sec ^ 2)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Most helyettesíthetjük # # Sintheta és fordítsuk vissza a válaszunkat egy algebrai kifejezésre #x#:

#COLOR (kék) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #