Mi az O (0,0), P (a, b) és Q (c, d) # csúcsokkal rendelkező háromszög orthocenterje?

Válasz:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Magyarázat:

Ezt a régi kérdést általánosítottam, nem pedig egy új kérdést. Ezt tettem egy körülmetélő kérdésre, és semmi rossz nem történt, így folytatom a sorozatot.

Mint korábban, egy vertexet állítottam az eredetre, hogy megpróbáljam megtartani az algebrát. Egy tetszőleges háromszög könnyen lefordítható, és az eredmény könnyen lefordítható.

Az orthocenter a háromszög magasságainak metszéspontja. Létezik annak a tételnek az alapja, hogy a háromszög magasságai egy ponton metszenek. Azt mondjuk, hogy a három magasság egyidejű.

Bizonyítsuk be, hogy az OPQ háromszög magassága párhuzamos.

Az oldalsó OP irányvektora # P-O = P = (a, b), # ez csak egy fantasztikus módja annak, hogy a lejtőn is elmondható # B / a # (de az irányvektor akkor is működik, amikor # A = 0 #). Itt kapjuk meg a merőleges irányvektorát a koordináták cseréjével és az egyik kizárásával # (B, -a). # A nullpontos termék merőleges:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Az OP és a Q közötti magasság paraméteres egyenlete tehát:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # igazából # T #

Hasonlóan az OQ-tól P-ig terjedő magasság

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # igazából # U #

A PQ irányvektora # Q-P = (c-a, d-b) #. A merőleges az eredeten, azaz a PQ magasságán keresztül

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # igazából # V #

Nézzük meg az OP és a PQ magasságainak megfelelését:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Ez két egyenlet két ismeretlenben, # T # és # V #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Megszaporítjuk az elsőt # A # és a második a # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

hozzátéve, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab-bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Hűtsük le a számlálóban lévő ponttermékkel és a nevezőben a kereszttermékkel.

A találkozás a feltételezett orthocenter # (X, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Keressük meg az OQ és a PQ magasságok találkozását. Szimmetriával egyszerűen cserélhetjük # A # val vel # C # és # B # val vel # D #. Hívjuk az eredményt # (X 'Y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Ezek a két kereszteződés azonosak, # (x ', y') = (x, y), # így bizonyítottuk, hogy a magasságok párhuzamosak. #quad sqrt #

A közös kereszteződés elnevezését a orthocenter, és megtaláltuk a koordinátáit.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #