Hogyan integrálja az f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) részleges frakciókat?

Válasz:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) +, C #

Magyarázat:

Mivel a nevező már megtörtént, mindössze annyit kell tennünk, hogy a konstansokra a részleges frakciókat kell megoldani:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (X-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (X-3) + D / (X-7) #

Ne feledje, hogy mindkettőre szükségünk van #x# és egy állandó kifejezés a bal legnagyobb frakcióban, mivel a számláló mindig 1 fokosabb, mint a nevező.

A bal oldali nevezőn keresztül szaporodhatnánk, de ez hatalmas mennyiségű munka lenne, ezért lehetünk okosak és használhatjuk a fedezés módját.

Nem megyek át részletesen a folyamatra, de lényegében azt is megtudjuk, hogy mi teszi a nevezőt nullának (a # C # ez # X = 3 #), és a bal oldalra dugva, és a konstansnak megfelelő tényező lefedése mellett értékelve:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (szöveg (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Ugyanezt tehetjük # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (szöveg (////))) = 35/51 #

A lefedési módszer csak a lineáris tényezőkre működik, így kénytelenek vagyunk megoldani a # A # és # B # a hagyományos módszerrel és a bal oldali nevezővel szorozva:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (X-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (X-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (X-3) #

Ha az összes zárójelben szaporodunk, és az összes különböző együtthatót megegyezzük #x# és állandó értelemben megismerhetjük az értékeket # A # és # B #. Ez egy meglehetősen hosszú számítás, így csak egy linket fogok hagyni az érdeklődők számára:

kattints ide

# A = -79/561 #

# B = -94/561 #

Ez azt jelenti, hogy integrálunk:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) x # #

Az első kettő a megnevezők meglehetősen egyszerű u-helyettesítésével oldható meg:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) x # #

A fennmaradó integrálot kettévághatjuk:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) x + int 94 / (x ^ 2 + 2)

A bal oldali Integral 1-et és a megfelelő Integral 2-t hívom.

Integrál 1

Ezt az integrációt megoldhatjuk egy u-helyettesítéssel # U = x ^ 2 + 2 #. A származék # # 2x, így megosztjuk # # 2x integrálni # U #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int törlés (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integrál 2

Szeretnénk ezt az integrált formát a formában # Tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Ha egy helyettesítést használunk # X = sqrt2u #, képesek leszünk átalakítani integrálunkat ebben a formában. Az integráláshoz # U #, meg kell szoroznunk # # Sqrt2 (mivel a származtatott ügyletet figyelembe vettük # U # ahelyett #x#):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) +, C #

Az eredeti integrál befejezése

Most, hogy tudjuk, hogy az Integral 1 és az Integral 2 megegyezik, akkor az eredeti integrál elkészült, hogy megkapjuk a végső választ:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) +, C #