Mi a (4, 7), (8, 2) és (5, 6) # sarkokkal rendelkező háromszög ortocentruma?

Válasz:

Orthocenter koordináták #color (piros) (O (40, 34) #

Magyarázat:

BC vonalszakasz lejtése # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

Hosszúsága #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Az A-n áthaladó és BC-re merőleges magasságegyenlet

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

AC vonalszakasz meredeksége #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

A magasság meredeksége BE merőleges a BC-re #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

A B-n és az AC-re merőleges magasságegyenlet

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Eqn (2)

Eqns (1), (2) megoldása az orthocenter koordinátáira érkezünk O

#x = 40, y = 34 #

Az orthocenter koordinátái #O (40, 34) #

Igazolás:

Hosszúsága #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

A CF magasság egyenlete

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Eqn (3)

Orthocenter koordináták #O (40, 34) #

Válasz:

orthocenter: #(40,34)#

Magyarázat:

Kidolgoztam a félig általános esetet itt. (Http://socratic.org/questions/what-is-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -and-2-8)

A következtetés a csúcsokkal rendelkező háromszög orthocenterje # (A, b), # #(CD)# és #(0,0)# jelentése

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Vizsgáljuk meg, hogy alkalmazzuk ezt a háromszögre, és hasonlítsuk össze az eredményt a másik válaszra.

Először lefordítjuk (5, 6) az eredetre, megadva a másik két fordított csúcsot:

# (A, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, -4) #

A képletet a lefordított térben alkalmazzuk:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4) = (35,28) #

Most lefordítjuk az eredményünket:

orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

Ez megfelel a másik válasznak!