Egy egyenlőszárú háromszögnek az A, B és C oldala van, a B és C oldalak hossza egyenlő. Ha az A oldal (1, 4) (5, 1) és a háromszög területe 15, akkor a háromszög harmadik sarka lehetséges koordinátái?

Válasz:

A két csúcs egy 5-ös hosszúságú bázist alkot, így a tengerszint feletti magasságnak a 15-ös területnek 6-nak kell lennie. A láb a pontok középpontja, és hat egység a merőleges irányban. # (33/5, 73/10)# vagy #(- 3/5, - 23/10) #.

Magyarázat:

Pro tipp: Próbáljon meg ragaszkodni a háromszög oldalakhoz tartozó kis betűkkel és a háromszög csúcsokhoz.

Két pontot és egy sík háromszög területet kapunk. A két pont teszi az alapot, # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

A láb # F # a magasság a két pont középpontja, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Az irányvektor a pontok között van #(1-5, 4-1)=(-4,3)# az 5-ös nagyságrenddel, ahogyan az a számítás szerint. A merőleges irányvektorot a pontok cseréjével kapjuk meg, és egyiküket elutasítjuk: #(3,4)# amelyeknek szintén ötös nagyságúnak kell lenniük.

Mivel a terület # A = fr 1 2 b h = 15 # kapunk # H = (2 * 15) /b=6.#

Tehát mozognunk kell #6# egységeket # F # vagy merőleges irányban, hogy megkapjuk a harmadik csúcsot, amit hívtam # C #:

# C = F 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) vagy C = (- 3/5, - 23/10) #

Jelölje be: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Az aláírt terület a kereszttermék fele

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad {} #

Ez a vég, de egy kicsit általánosítsuk a választ. Felejtsük el, hogy egyenlőtű. Ha C (x, y) van, akkor a területet a cipőfűző képlet adja meg:

# A = fr 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

A terület #15#:

# 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # vagy # -11 = 3x + 4y #

Tehát, ha a C csúcs a két párhuzamos vonal egyikén van, akkor egy 15-ös terület háromszöge lesz.

enged # PR = A # az egyenlőszárú háromszögnek a végpontjainak koordinátáival rendelkező oldala a következő

#Pto (1,4) # és # Rto (5,1) #

Legyen a háromszög harmadik pontjának koordinátái # (X, y) #.

Mint # (X, y) # egyenlő távolságban van a P-től és R-től

# (X-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (X-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => X ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6Y = 9 #

# => X = (9 + 6Y) / 8 …… 1 #

Újra # (X, y) # egyenlő távolságban van a P-től és R-től, a merőleges merőleges # (X, y) # nak nek # PR # kell bisect azt, Legyen ez a lábát a merőleges vagy középpontjában # PR # lenni # T #

Tehát a koordináták #Tto (3,2.5) #

Most az egyenlőszárú háromszög magassága

# H = sqrt ((X-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) #

És az egyenlőszárú háromszög alapja

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Tehát a probléma a terület

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((X-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) = 6 #

# => (X-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 …. 2 #

A 2 és 1 által

# ((9 + 6Y) / 8-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6Y-15) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 #

# => (6Y-15) ^ 2 + 64 (y-2,5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (Y-2,5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => Y = 2.5pm4.8 #

Így # y = 7,3 és y = -2,3 #

amikor # Y = 7,3 #

# X = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

amikor # Y = -2.3 #

# X = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0.6 #

Tehát a harmadik pont koordinátái lesznek

# (6.6,7.3) - "Q az ábrán" #

VAGY

# (- 0,6, -2,3) "S az ábrán" #