Mi az a r = 4theta ívhosszúsága a thétában a [-pi / 4, pi] -nél?

Válasz:

#approx 27.879 #

Magyarázat:

Ez egy vázlatos módszer. A munka néhány részét számítógéppel végezték.

Ívhossz #s = int pont s t

és #dot s = sqrt (vec v * vec v) #

Most, mert #vec r = 4 théta t

#vec v = pont r kalap r + r pont theta kalap theta #

# = 4 pont teta r + 4 theta dot theta t

# = 4 pont theta (hat r + theta kalap)

Így #dot s = 4 pont theta sqrt (1 + theta ^ 2) #

Ívhossz #s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) sqrt (1 + theta ^ 2) t

# = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) t

# = 2 theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta _ (- pi / 4) ^ (pi) # számítógépes megoldás. Lásd a Youtube linket itt a módszerhez

#approx 27.879 # számítógépes megoldás

Hogyan bizonyítja a cos ^ 4theta-sin ^ 4theta = cos2theta?

Rarrsin ^ 2x + cos ^ 2x = 1, a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (a-b) és cos ^ 2x-sin ^ 2x = cos2x-t fogunk használni. LHS = cos ^ 4x-sin ^ 4x = (cos ^ 2x) ^ 2- (sin ^ 2x) ^ 2 = (cos ^ 2x + sin ^ 2x) * (cos ^ 2x-sin ^ 2x) = 1 * cos2x = cos2x = RHS

Mi az r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) ívhosszúsága az ón [1, ln2]?

Ívhossz ~ ~ 2.42533 (5dp) Az ívhossz negatív, mivel az 1 alsó határ nagyobb, mint az ln2 felső határa. Paraméteres vektorfunkciónk van megadva: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Az ívhossz kiszámításához a vektorszármazékra lesz szükségünk, amelyet a termékszabály alapján számíthatunk ki: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> <<< 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t

Mi az r (t) = (t, t, t) ívhosszúsága az ón [1,2]?

Sqrt (3) A vektorfunkció ívhosszát keressük: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> a t-ben [1,2], melyet könnyen kiértékelhetjük: L = int_alpha ^ béta || bb (ul (r ') (t)) || dt Így kiszámítjuk a bb származékot (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Így kapjuk meg az ívhosszat: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2qrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2qrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Ez a triviális eredmény nem lehet meglepetés, mivel az adott