Mi az int (cos (x)) ^ 4 dx?

Válasz:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Magyarázat:

Bár kezdetben valóban bosszantó integrálnak tűnik, a trig-identitásokat ténylegesen kihasználhatjuk, hogy ezt az integrálot egy egyszerű integrálsorozatba vesszük, amit jobban ismerünk.

Az általunk használt identitás:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Ez lehetővé teszi számunkra, hogy manipuláljuk egyenletünket:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Most újra alkalmazhatjuk szabályunkat a cos ^ 2 (2x) megszüntetése érdekében a zárójelben:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cc (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4 kp (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4 kp (2x) + cos (4x)) dx #

Most valóban meglehetősen egyszerű integrációs problémánk van, az integrátumot a zárójelbe terjeszthetjük úgy, hogy:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Mindezek a trig-integrálok kezelése az egyszerű szabály szerint történik #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

És így, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #