Mik azok a kvaternionok?

Válasz:

Olyan szám, amelyre a szorzás általában nem kommutatív.

Magyarázat:

Valós számok (# RR #) egy vonallal lehet ábrázolni - egydimenziós tér.

Komplex számok (# CC #) egy sík - kétdimenziós tér.

Quaternions (H) négydimenziós tér képviselhető.

A rendes számtani számok megfelelnek az alábbi szabályoknak:

Kiegészítés

Identitás: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

inverz: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

asszociativitás: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

kommutativitás: #AA a, b: a + b = b + a #

Szorzás

Identitás: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Nem nulla inverz: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

asszociativitás: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

kommutativitás: #color (piros) (AA a, b: a * b = b * a) #

Együtt

disztributivitás: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#fehér szín)()#

Ezek a szabályok a racionális számok halmazára szolgálnak # QQ #, a valós számok halmaza # RR # és a komplex számok # CC # és határozza meg, hogy mi az a mező - egy készlet, amely ezen szabályoknak megfelelő kiegészítési és szaporodási műveletekkel rendelkezik.

Quaternions (H) az a ferde mező vagy asszociatív divízió algebra - egy készlet, amely az összes feltételt kielégítő addíciós és szaporodási műveletekkel rendelkezik, kivéve a szorzás kommutativitását.

A #4# dimenziós vektorterület a Reals felett, ezek a legnagyobb asszociatív divízió algebra a Reals felett, az egyetlen másik kettő # RR # és # CC #.

A valós tengelyen kívül a másik három tengelyen lévő egységek is meghívásra kerülnek #én#, # J # és # K #. Ezek mind a négyzetgyök #-1#.

Ez a három képzeletbeli egység megfelel az alábbi feltételeknek:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

A kvaternionokat képviselheti # # 2xx2 vagy komplex értékekkel rendelkező mátrixok # # 4xx4 mátrixok valós értékekkel.

Alkalmazásaik mechanikában és elméleti fizikában vannak.

#fehér szín)()#

Lábjegyzet

Figyeljük meg, hogy mondtam asszociációs osztási algebra. A kvaternionokon túl az még idegenebb Octonionok, amelyek elvesztik azt a követelményt, hogy a szorzás asszociatív legyen.