Melyek az f (x) = sin2x + cos2x abszolút extrémája a [0, pi / 4] -ben?

Válasz:

Abszolút max: #x = pi / 8 #

Abszolút min. a végpontokon van: #x = 0, x = pi / 4 #

Magyarázat:

Keresse meg az első származékot a láncszabály használatával:

enged #u = 2x; u '= 2 #, így #y = sinu + cos u #

#y '= (cosu) u' - (sinu) u '= 2cos2x - 2sin2x #

Kritikus számok keresése a beállítással #y '= 0 # és tényező:

# 2 (cos2x-sin2x) = 0 #

Mikor történik #cosu = sinu #? amikor #u = 45 ^ @ = pi / 4 #

így #x = u / 2 = pi / 8 #

Keresse meg a 2. származékot: #y '' = -4sin2x-4cos2x #

Ellenőrizze, hogy van-e max # Pi / 8 # a 2. származékos tesztet használva:

#y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0 #, ebből adódóan # Pi / 8 # az intervallum abszolút max.

Ellenőrizze a végpontokat:

#y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 # minimális értékeket

A grafikonból:

grafikon {sin (2x) + cos (2x) -.1,.78539816, -5, 1,54}

Válasz:

# 0 és sqrt2 #. Lásd a szemléltető szociál gráfot.

Magyarázat:

grafikon(Használat # | sin (theta) | -ban 0, 1 #.

# | F | = | sin2x + cos2x | #

# sqrt2 | sin2x cos (pi / 4) + cosx sin (pi / 4) |

# = Sqrt2 | sin (2x + pi / 4) | -ban 0, sqrt 2 #.