Hogyan bizonyíthatom ezt? Ez lenne a tétel a valós elemzésből?

# "A származtatott definíció használata:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Itt van" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Meg kell bizonyítanunk, hogy" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"vagy"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"vagy"#

#h '(x_0) = 0 #

# "a" h (x) = f (x) - g (x) # értékkel

#"vagy"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"vagy"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(mivel" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Most"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 ", ha" h> 0 "és" lim> = 0 ", ha" h <0 #

# "Feltételeztük, hogy f és g differenciálhatók" #

# "így" h (x) = f (x) - g (x) "is differenciálható," #

# "így a bal oldali limitnek meg kell egyeznie a megfelelő határértékkel, így" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Válasz:

Gyorsabb megoldást fogok nyújtani, mint a http://socratic.org/s/aQZyW77G. Ehhez a kalkulus néhány ismerős eredményére kell támaszkodnunk.

Magyarázat:

Határozza #h (x) = f (x) -g (x) #

Mivel #f (x) # g (x) #, nekünk van #h (x) le 0 #

Nál nél # X = x_0 #, nekünk van #f (x_0) = g (x_0) #, úgyhogy #h (x_0) = 0 #

És így # X = x_0 # a differenciálható függvény maximális értéke #h (X) # belül a nyitott intervallumot # (A, b) #. És így

#h ^ '(x_0) = 0 azt jelenti, hogy #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) azt jelenti, hogy #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #