Y = f (x) van megadva.Grafikon, y = f (3x) -2 és y = -f (x-1)?

Válasz:

Ne használjon grafikus papírt - remélem, hogy a leírás segít!

Magyarázat:

mert # Y = f (3x) -2 # első présel az adott gráf mentén #x# a tengely 3-as tényezőjével (úgy, hogy a baloldali minimum, mondjuk: # X = -2/3 #), majd nyomja meg az egész gráfot le- 2 egységgel. Így az új gráf minimális lesz #x = -2 / 3 # értéke # y = -2 #, maximum: #(0,0)# és egy másik minimum #(4/3, -4)#

mert # Y = -f (x-1) # először a grafikon 1 egységet a jobb, majd fordítsd fejjel lefelé! Tehát az új gráf kettő lesz maxima nál nél #(-1,0)# és #(5,2)# és minimális a #(1,-2) #

Válasz:

Itt egy részletesebb magyarázat

Magyarázat:

A problémák egy általánosabb probléma különleges esetei:

A grafikon alapján # Y = f (x) #, mi a grafikon #y = a f (b x + c) + d # ?

(az első az # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, míg a második a # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Megpróbálom megmagyarázni a választ a lépésekben, a probléma egy lépéssel történő kezelésével. Ez egy nagyon hosszú válasz lesz - de remélhetőleg az általános elv világos lesz a végére.

Az ábrán egy bizonyos görbét fogok használni, amit az alábbiakban mutatok be, de az ötlet általában fog működni.

(Ha bárki érdekel, az itt látható függvény #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Tekintettel a grafikonra # Y = f (x) #, mi a grafikon #y = f (x) + d # ?

Ez egyszerű - mindössze annyit kell tenned, hogy megjegyezzük, hogy ha # (X, y) # az első grafikon pontja # (X, y + d) # a második pont. Ez azt jelenti, hogy a második gráf nagyobb, mint az első # D # (természetesen, ha # D # negatív, alacsonyabb, mint az első grafikon # | D | #).

Szóval, a grafikon # Y = f (x) + 1 # lesz

Mint látható, a grafikon a #y = f (x) + 1 # (a szilárd lila vonal) a grafikon egyszerű megnyomásával érhető el # Y = f (x) # (a szürke szaggatott vonal) fel egy egységgel.

A grafikon a # Y = f (x) -1 # Az eredeti grafikon megnyomásával megtalálható le- egy egység:

2) A grafikon alapján # Y = f (x) #, mi a grafikon #y = f (x + c) # ?

Könnyű látni, hogy ha # (X, y) # egy pont a # Y = f (x) # grafikon # (X-c, y) # lesz egy pont a #y = f (x + c) # grafikon. Ez azt jelenti, hogy megkaphatja a grafikonot #y = f (x + c) # a grafikonból #y = f (x) # egyszerűen a balra által # C # (természetesen, ha # C # negatív, az eredeti gráfot a # | C | # jobbra.

Például a grafikon a # Y = f (x + 1) # az eredeti gráfot a balra egy egység:

míg erre # Y = f (x-1) # magában foglalja az eredeti gráfnak a jobb egy egység:

3) A grafikon alapján # Y = f (x) #, mi a grafikon #y = f (bx) # ?

Mivel #f (x) = f (b-szer x / b) # következik, hogy ha # (X, y) # egy pont a #y = f (x) # grafikon # (x / b, y) # egy pont a # Y = f (bx) # grafikon.

Ez azt jelenti, hogy az eredeti grafikonnak kell lennie megszorította egy tényezővel # B # mentén #x# tengely. Természetesen a szorítás # B # valóban a nyújtás által # 1 / b # az esetre # 0 <b <1 #

A grafikon a # Y = f (2x) # jelentése

Ne feledje, hogy míg a magasság 1-nél ugyanolyan marad, a szélesség 2-szeresére csökken. Különösen az eredeti görbe csúcsa eltolódott # X = 1 # nak nek # X = 1/2 #.

Másrészt, a grafikon # Y = f (x / 2) # jelentése

Ne feledje, hogy ez a gráf kétszer olyan széles (szorította a #1/2# ugyanolyan, mint a 2-es tényezővel), és a csúcs is elindult # X = 1 # nak nek # X = 2 #.

Különös figyelmet kell fordítani az esetre, ahol # B # negatív. Ez talán talán egy kétlépcsős folyamat

• Először keresse meg a grafikonot # Y = f (-x) #, és akkor
• nyomja meg az eredményt # | B | #

Ne feledje, hogy minden pontnál # (X, y) # az eredeti gráf, a pont # (- x, y) # egy pont a grafikonon # Y = f (-x) # - így az új gráf megtalálható azáltal, hogy tükrözi a régit # Y # tengely.

A kétlépcsős folyamat szemléltetéséhez tekintsük meg a # Y = f (-2x) # lásd lent:

Itt az eredeti görbe # Y = f (x) # először megfordul a # Y # tengely, hogy megkapja a görbét # Y = f (-x) # (a vékony cián vonal). Ezt azután egy tényező szorítja #2# a görbét # Y = f (-2x) # - a vastag lila görbe.

4) A grafikon alapján # Y = f (x) #, mi a grafikon #y = af (x) # ?

A minta ugyanaz itt - ha # (X, y) # akkor az eredeti görbe pontja # (X, ay) # egy pont a grafikonon # Y = af (x) #

Ez azt jelenti, hogy pozitív # A #, a grafikon egy tényezővel nyúlik # A # mentén # Y # tengely. Ismét egy érték # A # 0 és 1 között azt jelenti, hogy a görbe helyett a nyújtás helyett a görbe ténylegesen szorul # 1 / a # mentén # Y # tengely.

Az alábbi görbe az # y = 2f (x) #

Ne feledje, hogy a csúcs ugyanabban az értékben van #x# - magassága megduplázódott 2-re az 1-ből. Természetesen nem csak a csúcsot nyújtották - a # Y # az eredeti görbe minden pontjának koordinátája megduplázódott, hogy megkapja az új görbét.

Az alábbi ábra azt mutatja, hogy milyen szorítás történik #0<>

Ismét a helyzet #A <0 # különös gondot fordít - és jobb, ha ezt két lépésben hajtja végre

1. Először fordítsa a görbét fejjel lefelé a #X# tengely, hogy megkapja a görbét # Y = -f (x) #
2. Húzza meg a görbét # | A | # mentén # Y # tengely.

A görbe a # Y = -f (x) # jelentése

míg az alábbi kép a görbe rajzolásának két lépését mutatja be #y = -2f (x) #

Mindezt együtt

Most, hogy végigmentünk az egyes lépéseken, tegyük össze őket! A görbe rajzolásának eljárása

# y = a f (bx + c) + d #

kezdve a # Y = f (x) # lényegében a következő lépésekből áll

1. Rajzolja a görbét # Y = f (x + c) #: a grafikon eltolásával # C # balra
2. Ezután rajzolja le a #y = f (bx + c) #: nyomja meg a görbét, amelyet az 1. lépésből kap #X# irányban # | B | #, (először megfordítva # Y # tengely, ha #l <0 #)
3. Ezután ábrázolja a grafikonot # Y = af (bx + c) #: a 2. lépéstől kapott görbét skálázza # A # függőleges irányban.
4. Végül nyomja meg a 3. lépésben kapott görbét egy távolságra # D # a végeredmény eléréséhez.

Természetesen mind a négy lépést csak szélsőséges esetekben kell elvégeznie - gyakran kevesebb lépést tesz! A lépések sorrendje szintén fontos.

Ha kíváncsi, ezek a lépések abból adódnak, hogy ha # (X, y) # egy pont a # Y = f (x) # grafikonon, majd a ponton

# ({x-c} / b, ay + d) # a # Y = af (bx + c) + d # grafikon.

Hadd illusztráljuk a folyamatot egy példával a mi funkciónkkal #f (X) #. Próbáljuk meg létrehozni a grafikonot #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Először - a balra váltás 3 egységgel

Ezután: nyomja meg a 2-es tényezővel a #X# tengely

Ezután a grafikon átlapolása a #X# tengely és ezután 2-es tényezővel # Y #

Végül, a görbét 1 egységgel növelve - és mi végeztünk!