Hogyan találja meg az sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) határértékét, mivel az x megközelíti a -oo-t?

Válasz:

Csinálj egy kis faktoringot #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Magyarázat:

Amikor a végtelenség korlátaival foglalkozunk, mindig hasznos, ha egy #x#, vagy egy # X ^ 2 #vagy bármilyen hatalom #x# leegyszerűsíti a problémát. Ehhez tényleg ki kell tennünk # X ^ 2 # a számlálóból és egy #x# a nevezőből:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (X (2-6 / x)) #

# = (Sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Itt van, ahol érdekes lesz. mert #X> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # pozitív; azonban #X <0 #, #sqrt (x ^ 2) # negatív. Matematikai értelemben:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # mert #X> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # mert #X <0 #

Mivel a negatív végtelen határnál dolgozunk, #sqrt (x ^ 2) # válik #-x#:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Most láthatjuk ennek a módszernek a szépségét: van egy # 9 / x ^ 2 # és # 6 / x #, amelyek mindketten mennek #0# mint #x# negatív végtelenre megy:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #