Hogyan találja meg az (ln x) ^ (1 / x) határértékét, mivel x megközelíti a végtelenséget?

Válasz:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Magyarázat:

Meglehetősen gyakori trükkel kezdünk változó exponensekkel foglalkozni. Tudjuk venni a természetes naplót valamit, majd emelni az exponenciális függvény exponenseként anélkül, hogy megváltoztatnánk értékét, mivel ezek inverz műveletek - de lehetővé teszi számunkra, hogy a naplók szabályait hasznos módon használjuk.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

A naplók exponens szabályának használata:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Vegye figyelembe, hogy az exponens változik # # Xrarroo így összpontosíthatunk rá, és az exponenciális funkciót kívülre helyezhetjük:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Ha megnézzük a természetes naplófunkció viselkedését, akkor észre fogod venni, hogy mivel az x végtelen, a függvény értéke végtelenre is hajlamos, bár nagyon lassan. Mikor veszünk #ln (ln (x)) # van egy változó a log függvényen belül, amely nagyon lassan hajlamos a végtelenségre, ami azt jelenti, hogy egy olyan általános funkciónk van, amely végtelenül végtelenül lassan halad. Az alábbi grafikon csak # X = 1000 # de ez bizonyítja a rendkívül lassú növekedést #ln (ln (x)) # még a lassú növekedéshez képest is #ln (X) #.

Ebből a viselkedésből arra következtethetünk, hogy #x# sokkal gyorsabb aszimptotikus növekedést mutat, ezért az exponens határértéke nulla. #color (kék) ("Ez azt jelenti, hogy a teljes határérték = 1.") #

Ezt a pontot L'hopital szabályával is kezelhetjük. A határértéket határozatlan formában kell megadnunk, azaz # 0/0 vagy oo / oo # ezért ellenőrizzük, hogy ez a helyzet:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Ez valóban így van, így a határ:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Megkülönböztetni #y = ln (ln (x)) # ismerjük fel #Y (u (x)) # és használja a láncszabályt

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) azt jelenti (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) azt jelenti (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

# ennélfogva (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Származék #x# jelentése #1#. A limit:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

Megvizsgáltuk, hogy a nevező mindkét funkciója végtelen, így van

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #