Mekkora az f (x) = sinx lokális extrémája [0,2pi] -nél?

Válasz:

Nál nél # X = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # van egy helyi maxima és a # X = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # van egy helyi minimumunk.

Magyarázat:

A maxima egy magas pont, amelyhez egy függvény emelkedik, majd ismét elesik. Mint ilyen, a tangens meredeksége vagy a derivált értéke nulla.

Továbbá, mivel a maximumoktól balra lévő érintők felfelé lejtenek, majd lecsapódnak, majd lefelé lejtenek, a tangens lejtése folyamatosan csökken, azaz a második származék értéke negatív.

A minimumok viszont egy alacsony pont, amelyre egy függvény esik, majd ismét emelkedik. Mint ilyen, a tangens vagy a származtatott érték minimálisan is nulla lesz.

De mivel a minimumok bal oldalán lévő érintők lefelé lesznek lejtve, akkor a lapítás, majd a felfelé lejtés, az érintő lejtése folyamatosan növekszik, vagy a második származék értéke pozitív lesz.

Ezek a maximumok és minimumok azonban lehetnek univerzálisak, vagyis a teljes tartományra vonatkozó maximálisak vagy minimumok, vagy lokalizáltak lehetnek, vagyis korlátozott tartományban a maximumok vagy minimumok.

Lássuk ezt a kérdésben leírt funkcióra való hivatkozással, és először is megkülönböztessük #f (x) = sinx #.

#f '(x) = cosx # és tovább # 0,2pi # ez #0# nál nél # X = pi / 2 # és # X = (3pi) / 2 #.

#f '' (x) = - sinx # és közben # X = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # ami azt jelenti, hogy van egy helyi maxima, a # X = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # ez azt jelenti, hogy van egy helyi minimumunk.

grafikon {sinx -1, 7, -1,5, 1,5}