Mi a háromszög ortocentruma a sarkokkal (9, 7), (4, 4) és (8, 6) #?

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

A csúcsokat hívjuk # A = (4,4) #, # B = (9,7) # és # C = (8,6) #.

Találnunk kell két egyenletet, amelyek merőlegesek a két oldalra, és áthaladnak a két csúcson. Megtaláljuk a két oldal meredekségét, következésképpen a két merőleges vonal lejtését.

AB lejtője:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Ehhez merőleges meredekség:

#-5/3#

Ennek át kell haladnia a C csúcson, így a sor egyenlete:

# Y-6 = -5/3 (X-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

BC lejtője:

#(6-7)/(8-9)=1#

Ehhez merőleges meredekség:

#-1#

Ennek át kell haladnia az A csúcson, így a sor egyenlete:

# Y-4 = - (x-4) #, # Y = -x + 8 # 2

Ahol az 1 és 2 metszi az ortocentrumot.

1 és 2 egyidejű megoldása:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

A 2 használata:

# Y = -17 + 8 = -9 #

orthocenter:

#(17, -9)#

Mivel a háromszög elhomályosult, az ortocenter a háromszögen kívül van. ez látható, ha a magassági vonalat addig terjeszti, amíg át nem lépnek.

Válasz:

orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

circumcenter

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Magyarázat:

orthocenter

Adott # p_1, p_2, p_3 # és

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # oly módon, hogy

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Ezek a vektorok könnyen beszerezhetők, például

# p_1 = (x_1, y_1) # és # p_2 = (x_2, y_2) # és akkor

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Most már van

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

A három vonal metszi a háromszög ortocentrumát

kiválasztása # L_1, L_2 # nekünk van

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # vagy

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

az egyenletek megadása

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Most megoldani # Lambda_1, lambda_2 # nekünk van

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

és akkor

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

circumcenter

A kerületi egyenletet a

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

most ha # {p_1, p_2, p_3} a C # nekünk van

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

kivonva az elsőt a másodikból

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

kivonva az elsőt a harmadikból

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

az egyenletek rendszere

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Most helyettesítjük a megadott értékeket

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Csatolt egy ábrát, amely az orthocenter (piros) és a circumcentercenter (kék) mutatja.