Hogyan osztja meg (i + 3) / (-3i +7) trigonometrikus formában?

Válasz:

# 0,311 + 0.275i #

Magyarázat:

Először átírom a kifejezéseket # A + bi #

# (3 + i) / (7-3i) #

Komplex szám esetén # Z = a + bi #, # Z = R (costheta + isintheta) #, hol:

# R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #
# Téta = tan ^ -1 (b / a) #

Hívjuk # 3 + i # # # Z_1 és # # 7-3i # # Z_2.

mert # # Z_1:

# Z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# R_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) #

# Theta_1 = tan ^ -1 (1/3) = 0,32 ^ c #

# Z_1 = sqrt (10) (cos (0,32) + ISIN (0,32)) #

mert # # Z_2:

# Z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# R_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# Theta_2 = tan ^ -1 (-3/7) = - 0,40 ^ c #

Mivel azonban # # 7-3i a 4. negyedben van, pozitív szög egyenértékűnek kell lennie (a negatív szög az óramutató járásával megegyező irányban a kör körül, és az óramutató járásával ellentétes irányba kell néznünk).

Ahhoz, hogy pozitív szög egyenértékű legyen, hozzáadjuk # # 2pi, # Tan ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5,88 ^ c #

# Z_2 = sqrt (58) (cos (5,88) + ISIN (5,88)) #

mert # Z_1 / z_2 #:

# Z_1 / z_2 = r_1 / r_2 (cos (theta_1-theta_2) + ISIN (theta_1-theta_2)) #

#COLOR (fehér) (z_1 / z_2) = sqrt (10) / sqrt (58) (cos tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi) + ISIN tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi)) #

#COLOR (fehér) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi + ISIN tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi) #

#COLOR (fehér) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5,56) + ISIN (-5,56)) #

#COLOR (fehér) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5,56) + isqrt (145) / 29sin (-5,56) #

#COLOR (fehér) (z_1 / z_2) = 0,311 + 0.275i #

Bizonyíték:

# (3 + i) / (7-3i) * (7 + 3i) / (7 + 3i) = ((3 + i) (7 + 3i)) / ((7-3i) (7 + 3i)) = (21 + 7i + 9i + 3i ^ 2) / (49 + 21 i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16i + 3i ^ 2) / (49-9i ^ 2) #

# I ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) /58=9/29+8/29i

Hogyan osztja meg (2i + 5) / (-7 i + 7) trigonometrikus formában?

0,54 (cos (1,17) + isin (1,17)) Osztjuk fel őket két különálló komplex számra, melyek közül az egyik a számláló, a 2i + 5, és az egyik a nevező, a -7i + 7. A lineáris (x + iy) formától trigonometrikusig (r (costheta + isintheta) szeretnénk kapni őket, ahol a théta az érv, és r a modulus. 2i + 5 esetén r = sqrt (2 ^ 2 + 5 ^ 2 ) = sqrt29 tantheta = 2/5 -> theta = arctan (2/5) = 0,38 "rad" és -7i + 7 esetén r = sqrt ((- 7) ^ 2 + 7 ^ 2) = 7sqrt2 a második érv nehezebb, mert a -pi és pi k

Hogyan osztja meg (i + 2) / (9i + 14) trigonometrikus formában?

0.134-0.015i z = a + bi komplex szám esetén z = r (costheta + isintheta), ahol r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) és theta = tan ^ -1 (b / a ) (2 + i) / (14 + 9i) = (sqrt (2 ^ 2 + 1 ^ 2) (cos (tan ^ -1 (1/2)) + isin (tan ^ -1 (1/2)) )) / (sqrt (14 ^ 2 + 9 ^ 2) (cos (tan ^ -1 (9/14)) + ISIN (tan ^ -1 (9/14)))) ~~ (sqrt5 (cos (0,46 ) + izin (0,46))) / (sqrt277 (cos (0,57) + isin (0,57))) Adott z_1 = r_1 (costetaeta1 + isintheta_1) és z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2), z_1 / z_2 = r_1 / r_2 ( cos (theta_1-theta2) + izin (theta_1-theta2)) z_1 / z_2 = sqrt5 / sqrt277 (cos (0,46-0,57) + izin (0,46-0,57)) = sqrt1385

Hogyan osztja meg (9i-5) / (-2i + 6) trigonometrikus formában?

Frac {-5 + 9i} {6-2i} = {-12 + 11i} / 10, de nem tudtam befejezni trigonometrikus formában. Ezek szép, összetett számok, téglalap alakúak. Nagy időveszteség, hogy azokat poláris koordinátákká alakítsuk, hogy megoszthassuk őket. Próbáljuk meg mindkét irányban: frac {-5 + 9i} {6-2i} cdot {6 + 2i} / {6 + 2i} = {-48 + 44i} / {40} = {-12 + 11i} / 10 Az könnyű volt. Ellenkezzük. Poláris koordinátákban -5 + 9i = qrt {5 ^ 2 + 9 ^ 2} e ^ {i szöveg {atan2} (9, -5)} Írok szöveget {atan2} (y, x) helyes két param