Mi a g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4) minimális értéke? az [-2,2] intervallumban?

Válasz:

A minimális érték a # x = 1-sqrt 5 kb. "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) kb. - - 0,405 #.

Magyarázat:

Zárt intervallumban a lehetséges minimális helyek:

• egy helyi minimum az intervallumon belül, vagy
• az intervallum végpontjait.

Ezért kiszámítjuk és összehasonlítjuk az értékeket #G (X) # bármely #x a "-2", 2 # megcsinálja #G '(x) = 0 #, valamint a #X = "- 2" # és # X = 2 #.

Először: mi az #G '(x) #? A hányadosszabály használatával:

#G '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#COLOR (fehér) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#COLOR (fehér) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Ez nulla, ha a számláló nulla. A négyzetes képlettel kapjuk

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 kb {"-1.236", 3.236} #

Ezek közül csak az egyik #x#-értékek vannak #'-2',2#, és ez az # x = 1-sqrt 5 #.

Most kiszámítjuk:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0.375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (fehér) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * szín (kék) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (fehér) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (fehér) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) kb "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

E három érték összehasonlítása #G (X) #, ezt látjuk #g (1-sqrt 5) # a legkisebb. Így # - (1+ sqrt 5) / 8 # a minimális értékünk #G (X) # tovább #'-'2, 2#.