Mik az f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) szélsőséges és nyeregpontjai?

Válasz:

# {: ("Kritikus pont", "Következtetés"), ((0,0,0), "nyereg"):} #

Magyarázat:

Az elmélet, amely a # Z = f (x, y) # jelentése:

1. Egyidejűleg oldja meg a kritikus egyenleteket

   # (részleges f) / (részleges x) = (részleges f) / (részleges y) = 0 t (azaz # F_x = f_y = 0 #)

2. értékelje #f_ (x x), f_ (yy) és f_ (xy) (= f_ (yx)) # mindegyik kritikus ponton. Ezért értékelje # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # ezeken a pontokon
3. Határozza meg a szélsőségesség természetét;

   # {: (Delta> 0, "Minimum, ha" f_ (xx) <0), (, "és maximum, ha" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "van nyeregpont")) (Delta = 0, "További elemzés szükséges"):} #

Tehát:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Keressük meg az első részleges származékokat:

# (részleges f) / (részleges x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = te ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (részleges f) / (részleges y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Ezért kritikus egyenletünk:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Ezekből az egyenletekből:

# y = 0 # vagy # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # vagy # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

És az egyetlen egyidejű megoldás # X = y = 0 #

És így van egy kritikus pont

Most nézzük meg a második részleges származékokat, hogy meghatározhassuk a kritikus pont jellegét (csak az eredményeket idézem):

# (részleges ^ 2f) / (részleges x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6x ^ ^ (x ^ 2) #

# (részleges ^ 2f) / (részleges y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (részleges ^ 2f) / (részleges x részleges y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) t (= (részleges ^ 2f) / (részleges y részleges x)) #

És számítanunk kell:

# Delta = (részleges ^ 2f) / (részleges x ^ 2) (részleges ^ 2f) / (részleges y ^ 2) - ((részleges ^ 2f) / (részleges x részleges y)) ^ 2 #

minden kritikus ponton. A második részleges származékos értékek, #Delta#és a következtetések:

# {: ("Kritikus pont", (részleges ^ 2f) / (részleges x ^ 2), (részleges ^ 2f) / (részleges y ^ 2), (részleges ^ 2f) / (részleges x részleges y), Delta, "Következtetés"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "incluclusive"):} #

Tehát mindezek után a munka meglehetősen csalódó, ha egy inkluzív eredményt kapunk, de ha a kritikus pont körül viselkedését vizsgáljuk, akkor könnyen megállapíthatjuk, hogy ez egy nyeregpont.

Láthatjuk ezeket a kritikus pontokat, ha egy 3D-s telekra nézünk: