Mi az a legnagyobb sugár, r és magasságú h, amely elfér az R sugarú gömbben?

Válasz:

Ha kiválasztjuk, a henger maximális térfogata megtalálható

# r = sqrt (2/3) R #, és #h = (2R) / sqrt (3) #

Ez a választás a maximális henger térfogatához vezet:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Magyarázat:

``

Képzeljünk el egy keresztmetszetet a henger közepén, és hagyjuk, hogy a henger magassága legyen # H #és a kötet # V #, akkor van;

# H # és # R # lehet változtatni és # R # állandó. A henger térfogatát a standard képlet adja meg:

# V = pir ^ 2H #

A gömb sugara, # R # az oldalakkal ellátott háromszög hypotenuse # R # és # 1 / 2h #, így Pythagoras használatával:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Ezt a kötetegyenletünkkel helyettesíthetjük, hogy:

# = V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4p ^ ^ #

Most már van kötetünk, # V # egy változó függvényében # H #, amit a wrt maximalizálására törekszünk # H # így differenciáló wrt # H # ad:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4p ^ ^ #

Legalább vagy legfeljebb # (DV) / (dh) = 0 # így:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h = 2 = 4/3 R ^ 2 #. t

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" #: t (nyilvánvalóan te + ve gyökér)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Ezzel az értékkel # H # kapunk:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Ellenőriznünk kell, hogy ez az érték a maximális (és nem a maximális) kötethez vezet-e, ezt a második derivatívát nézzük:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4p ^ ^ #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

És mint #h> 0 # arra következtetünk, hogy # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # és hogy az azonosított kritikus pont a keresett maximális értékhez vezet.

Ezért a henger maximális térfogata megtalálható, ha azt választjuk

# r = sqrt (2/3) R #, és #h = (2R) / sqrt (3) #

Ezzel a választással a maximális hangerőt kapjuk;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Nyilvánvaló, hogy a Gömb térfogata:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Ez egy nagyon híres probléma, amelyet görög matematikusok tanulmányoztak, mielőtt a Calculus-ot felfedezték. Érdekes tulajdonság a henger térfogatának és a gömb térfogatának aránya:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Más szóval a kötetek aránya teljesen független # R #, # R # vagy # H # ami meglepő eredmény!