Mi a parabola egyenlete az (= -15, -19) és az y = -8 közvetlen irányában?

Válasz:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Magyarázat:

Mivel a direktíva egy vízszintes vonal, tudjuk, hogy a parabola függőleges irányban van (felfelé vagy lefelé nyílik). Mivel a fókusz y-koordinátája (-19) az irányvonal alatt (-8), tudjuk, hogy a parabola kinyílik. Az ilyen típusú parabola egyenletének csúcsformája:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Ahol h a csúcs x koordinátája, k a y csúcsponttal koordinált y, és az f fókusztávolság a közvetlen iránytól a fókuszig tartó aláírt távolság fele:

#f = (y _ ("fókusz") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

A k csúcs y-koordinátája f plusz a közvetlen irány y koordinátája:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

A csúcs x koordinátája megegyezik a fókusz x koordinátájával:

#h = -15 #

Ezeknek az értékeknek az 1 egyenletre való helyettesítése:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Egy kicsit egyszerűbb:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Válasz:

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Magyarázat:

A Parabola egy olyan pont, amely úgy mozog, hogy távolsága egy vonaltól, a directix-től, és egy ponttól, amit fókusznak nevezünk, egyenlő.

Tudjuk, hogy a két pont közötti távolság # (X_1, y_1) # és # X_2, y_2) # által adva #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # és

a pont közötti távolság # (X_1, y_1) # és vonal # Ax + by + c = 0 # jelentése # | Ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Most egy pont távolsága # (X, y) # a parabola a fókuszban #(-15,-19)# jelentése #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

és a távolság a directrixtól # Y = -8 # vagy # Y + 8 = 0 # jelentése # | Y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Ezért a parabola egyenlete lenne

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # vagy

# (X + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # vagy

# X ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # vagy

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

grafikon {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}