Hogyan oldhatom meg ezt a differenciálegyenletet?

Válasz:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Magyarázat:

Ez egy elválasztható differenciálegyenlet, ami egyszerűen azt jelenti, hogy lehetséges az #x# kifejezések és # Y # az egyenlet ellentétes oldalain. Tehát ez az, amit először csinálunk:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Most szeretnénk dy az y-k oldalán, és dx az x-ek oldalán. Egy kicsit újra kell rendeznünk:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Most mindkét oldalt integráljuk:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Legyen mindegyik integrálva egymás után:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Először is osztjuk ezt két külön integrálissá az összeadási / kivonási szabály szerint:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Ezek bosszantónak tűnnek. Azonban egy kicsit átalakíthatunk nekik, hogy jobban nézzenek ki (és sokkal könnyebben megoldhatók):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Mindkettő egyszerű # U #szubsztitúciós integrálok. Ha beállította #u = -x # és # # -3x a válasz a következőképpen érhető el:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

#Ha a negatív exponenset pozitívvá tesszük:

#int (ti ^ y) dy #

Ehhez a részekből integrációt kell használnunk. A képlet:

#int (uv) dy = UV-int (v * du) #

Meg fogjuk állítani #u = y #, és #dv = e ^ y dy #. Ennek az az oka, hogy könnyű # # Du a végső integrációért és azért is # E ^ y # nagyon könnyen integrálható.

Így:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Most már csak csatlakoztatunk és csevegünk:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Mindent vissza kell hozni:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Megszabadulni a negatív exponensektől:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

És ez egy elég tisztességes végső válasz. Ha meg akarod oldani # Y #, meg tudná, és végül végül

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Figyeljük meg, hogy nincs # + C # az egyenlet LHS-jén. Ennek az az oka, hogy még akkor is, ha ezt tesszük, végül kivonjuk azt az RHS-ből, és egy tetszőleges konstans mínusz egy tetszőleges állandó még mindig tetszőleges állandó. Ezért ezekre a problémákra mindaddig, amíg megvan # +, C # az egyenlet bármelyik oldalán jól leszel.

Remélem, hogy segített:)