A differenciálegyenlet megoldása: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Beszélje meg, hogy milyen differenciálegyenlet ez, és mikor keletkezhet?

Válasz:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Magyarázat:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

a legjobb

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad háromszög #

ami azt mutatja, hogy ez lineáris második rendű homogén differenciálegyenlet

jellemző karakterisztikával rendelkezik

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

amely az alábbiak szerint oldható meg

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

ez egy ismétlődő gyökér, így az általános megoldás formában van

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

ez nem oszcilláló, és valamilyen exponenciális viselkedést modellez, ami valóban az A és B értékétől függ. Lehet, hogy talán a populáció vagy a ragadozó / ragadozó kölcsönhatás modellezésére tett kísérlet, de nem tudok igazán mondani semmit.

ez instabilitást mutat, és ez minden, amiről igazán mondhatnék

Válasz:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Magyarázat:

A differenciálegyenlet

# (D ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

egy lineáris homogén állandó koefficiens egyenlet.

Ezeknek az egyenleteknek az általános megoldása a szerkezet

#y = e ^ {lambda x} #

A helyettesítésünk van

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Itt # e ^ {lambda x} ne 0 # így a megoldásoknak engedelmeskedniük kell

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Megoldásunk megszerezhető

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Amikor a gyökerek ismétlődnek, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # megoldás is. Esetében # N # megismétlődő gyökerek, megoldásaink szerint:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # mert # I = 1,2, cdots, n #

Tehát a kezdeti feltételek számának fenntartásához önálló megoldásokként alkalmazzuk őket.

Ebben az esetben van

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

ami eredményez

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Ezek az egyenletek akkor jelennek meg, amikor a lineáris áramköri elméletben vagy a lineáris mechanikában megtalálható lineáris csomózott paraméterrendszereket modellezzük. Ezeket az egyenleteket általában operatív algebrai módszerekkel, például a Laplace Transform módszerekkel kezelik