Mi a távolság a (0, 0, 8) és a (9, 2, 0) között?

Válasz:

A távolság #sqrt (149) #

Magyarázat:

A két pont közötti távolság

# (x_1, y_1, z_1) #

és

# (x_2, y_2, z_2) #

ban ben # RR ^ 3 # (három dimenzió)

# "távolság" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Ezt a problémát alkalmazva a távolságot kapjuk #(0, 0, 8)# és #(9, 2, 0)# mint

# "távolság" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Az alábbiakban egy magyarázatot adunk arra, hogy honnan származik a távolság formula, és nem szükséges a fenti megoldás megértéséhez.

A fent megadott távolság képlet gyanúsan hasonlít a távolság képlethez # RR ^ 2 # (két dimenzió):

# "távolság" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

ami a Pythagorean-tétel egyszerű alkalmazásából származik, egy jobb háromszöget rajzolva két pont között a lábakkal párhuzamosan. #x# és # Y # tengely.

Kiderült, a # RR ^ 3 # A verzió hasonló módon származhat. Ha (legfeljebb) 3 sort használunk két pont összekapcsolására, ezzel párhuzamosan a #x#, # Y #, és # Z # tengelyek, kapunk egy pontot a pontokkal ellentétes sarkokként. Nézzük meg, hogyan lehet kiszámítani a távolságot egy doboz átlóján.

Megpróbáljuk kitalálni a vörös vonal hosszát #COLOR (piros) (AD) #

Mivel ez a háromszög hypotenuse # ABD #, a Pythagorean-tételből:

# (szín (piros) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (szín (kék) (BC)) ^ 2 #

# => szín (piros) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (szín (kék) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Sajnos nincs hosszúságunk #COLOR (kék) (BD) # mint egy adott. Ahhoz, hogy megkapjuk, újra alkalmazni kell a Pythagorean-tételt, ezúttal a háromszögre # # BCD.

# (szín (kék) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Mivel csak a négyzetre van szükségünk #COLOR (kék) (BD) #, most helyettesíthetjük # ("II") # -ba #("én")#:

#color (piros) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Végül, ha van # A # nál nél # (x_1, y_1, z_1) # és # D # nál nél # (x_2, y_2, z_2) #, akkor van a hossza

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Ezek helyettesítése a fentiekben a kívánt eredményt nyújtja.

Kiegészítő megjegyzéseként, bár a geometriai bizonyítékokat csak 3 dimenzióban tudjuk egyszerűen elvégezni, a matematikusok általános távolságban vannak # RR ^ n # (# N # méretek). A távolság között

# (x_1, x_2, …, x_n) # és # (y_1, y_2, …, y_n) # azt jelenti

#sqrt (összeg_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

amely megfelel a mintának # RR ^ 2 # és # RR ^ 3 #.