Legyen f (x) = (x + 2) / (x + 3). Keresse meg a ponton (0,6) áthaladó érintővonal (ok) egyenletét? Vázolja fel a megoldást?

Legyen f (x) = (x + 2) / (x + 3). Keresse meg a ponton (0,6) áthaladó érintővonal (ok) egyenletét? Vázolja fel a megoldást?
Anonim

Válasz:

Tangensek # 25x-9y + 54 = 0 # és # Y = x + 6 #

Magyarázat:

Legyen a tangens lejtője # M #. A tangens egyenlete akkor van # Y-6 = mx # vagy # Y = mx + 6 #

Most nézzük meg az érintő és az adott görbe metszéspontját # Y = (x + 2) / (x + 3) #. Erre az elhelyezésre # Y = mx + 6 # ebben kapunk

# Mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) # vagy # (Mx + 6) (x + 3) = x + 2 #

azaz # Mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 #

vagy # Mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 #

Ennek két értéket kell adnia #x# vagyis két metszéspont, de az érintő csak egy ponton vágja le a görbét. Ezért ha # Y = mx + 6 # egy tangens, csak egy gyökérnek kell lennie a kvadratikus egyenlethez, ami lehetséges, ha diszkrimináns #0# azaz

# (3m + 5) ^ 2-4 * m * 16 = 0 #

vagy # 9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 #

vagy # 9m ^ 2-34m + 25 = 0 #

azaz # M = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

azaz #25/9# vagy #1#

és így az érintők # Y = 25 / 9x + 6 # azaz # 25x-9y + 54 = 0 #

és # Y = x + 6 #

grafikon {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12.58, 7.42, -3.16, 6.84}