Mi a háromszög ortocentruma a sarkokkal (5, 9), (4, 3) és (1, 5) #?

Válasz:

# (11 / 5,24 / 5) vagy (2.2.4.8) #

Magyarázat:

A pontok megismétlése:

#A (5,9) #

#B (4,3) #

#C (1,5) #

A háromszög ortocentruma az a pont, ahol a magasságvonal mindkét oldalhoz viszonyítva (az átellenes csúcson áthaladva) találkozik. Tehát csak 2 sor egyenletre van szükségünk.

A vonal lejtése # k = (Delta y) / (Delta x) # és a vonal meredeksége merőleges az elsőre # P = -1 / k # (amikor #k! = 0 #).

# AB-> k = (3-9) / (4-5) = (- 6) / (- 1) = 6 # => # P = -1/6 #

# BC-> k = (5-3) / (1-4) = 2 / (- 3) = - 2/3 # => # P = 3/2 #

# CA-> k = (9-5) / (5-1) = 4/4 = 1 # => # P = -1 #

(Nyilvánvalónak kell lennie, hogy ha úgy döntünk, az egyik egyenlethez a lejtő # P = -1 # feladatunk könnyebb lenne. Egyedül választom, kiválasztom az első és a második lejtőt)

A vonal egyenlete (áthaladva # C #), ahol az AB merőleges magasságú

# (Y-5) = - (1/6) (X-5) # => #Y = (- x + 1) / 6 + 5 # => #Y = (- x + 31) / 6 #1

A vonal egyenlete (áthaladva # A #), amelyben a BC-hez képest merőleges magasság áll

# (Y-9) = (3/2) (X-5) # => # Y = (3x-15) / 2 + 9 # => # Y = (3x + 3) / 2 # 2

1 és 2 egyenletek kombinálása

# {Y = (- x + 31) / 6 #

# {Y = (3x + 3) / 2 # => # (- x + 31) / 6 = (3x + 3) / 2 # => # -2x + 62 = 18x + 18 # => # X = 44/20 # => # X = 11/5 #

# -> y = (- 11/5 + 31) / 6 = (- 11 + 155) / 30 = 144/30 # => # Y = 24/5 #

Tehát az ortocenter #(11/5,24/5)#