Mi a sqrt (9-x ^ 2) szerves része?

Amikor ezeket a funkciókat látom, felismertem (sokat gyakorolva), hogy különleges helyettesítést kell használnia itt:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Ez furcsa helyettesítésnek tűnhet, de látni fogja, hogy miért csináljuk ezt.

#dx = 3cos (u) du #

Cserélje ki a beépített elemet:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

A 3-at ki lehet hozni az integrálból:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

A 9-et a következőre teheted:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Ismerjük az identitást: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Ha megoldjuk # # Cosx, kapunk:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Pontosan ezt látjuk az integrálban, így helyettesíthetjük:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Lehet, hogy ismeri ezt az alapvető antivolitív anyagot, de ha nem, akkor meg tudja találni ezt:

Az identitást használjuk: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (ezt kicseréléssel dolgozhatja ki)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Most mindent meg kell tennünk # U # a funkcióba. Nézzük vissza, hogyan definiáltuk:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Ahhoz, hogy # U # ebből ki kell venni az inverz függvényt #bűn# mindkét oldalon ez # # Arcsin:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Most be kell illesztenünk a megoldásunkba:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Ez a végső megoldás.