Hogyan oldhatom meg ezt az egyenletet?

Válasz:

# "Lásd a magyarázatot" #

Magyarázat:

# "Először alkalmazzuk a racionális gyökér tételt, hogy racionális gyökereket találjunk." #

# "" Racionális gyökérként "x = 1" -et találunk. "#

# "Tehát" (x-1) "tényező. Elosztjuk ezt a tényezőt:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Van egy fennmaradó köbös egyenletünk, amelynek nincs racionális gyökere." #

# "Megoldhatjuk a helyettesítési módszerrel." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Helyettesítő" x = y + 2/9 ".

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Helyettesítő" y = (sqrt (22) / 9) z ".

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Helyettesítő" z = t + 1 / t ".

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Az u = t ^ 3" helyettesítése a kvadratikus egyenletet adja: "#

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "A négyzetes egyenlet gyökere u = 5.73717252." #

# "A változók visszaállítása, hozamok:" #

#t = gyökér (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2,34879043.

#y = 1.22408929.

#x = 1.44631151.

# "A többi gyökér összetett:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i.

# "(Ezek megtalálhatók az elválasztással" (x-1.44631151)) #

Válasz:

A racionális valódi nulla # X = 1 #.

Akkor van egy irracionális valódi nulla:

# x_1 = 1/9 (2 + gyökér (3) (305 + 27sqrt (113)) + gyökér (3) (305-27sqrt (113))) #

és a kapcsolódó nem valós komplex nullák.

Magyarázat:

Adott:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Ne feledje, hogy az együtthatók összege #0#.

Ez az: #3-5+2 = 0#

Ennélfogva azt tudjuk levonni # X = 1 # nulla és # (X-1) # tényező:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (fehér) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

A fennmaradó kocka valamivel bonyolultabb …

Adott:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Tschirnhaus átalakulás

Ahhoz, hogy a kocka egyszerűsítése megoldható legyen, a kocka egyszerűsítését Tschirnhaus transzformáció néven ismert lineáris helyettesítéssel végezzük.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = T ^ 3-66t-610 #

hol # T = (9x-2) #

Cardano módszere

Meg akarjuk oldani:

# T ^ 3-66t-610 = 0 #

enged # T = u + v #.

Azután:

# U ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Adja hozzá a kényszert # V = 22 / u # a # (U + v) # és kap:

# U ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Szorozzuk át # U ^ 3 # és kissé rendezze át, hogy:

# (U ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Használja a négyzetes képletet:

# U ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372.100-42.592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329.508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Mivel ez Real, és a deriváció szimmetrikus # U # és # V #, ezek közül a gyökerek egyikét használhatjuk # U ^ 3 # és a másik a # V ^ 3 # igazi gyökér megtalálása:

# T_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + gyökér (3) (305-27sqrt (113)) #

és kapcsolódó összetett gyökerek:

# t_2 = omega gyökér (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 gyökér (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 gyökér (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega gyökér (3) (305-27sqrt (113)) #

hol # Omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # a primitív Complex kocka gyökere #1#.

Most # X = 1/9 (2 + t) #. Így az eredeti kocka gyökerei:

# x_1 = 1/9 (2 + gyökér (3) (305 + 27sqrt (113)) + gyökér (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega gyökér (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 gyökér (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 gyökér (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega gyökér (3) (305-27sqrt (113))) #