Melyek a komplex számok?

Az összetett számok az űrlap számai # A + bi # hol # A # és # B # valós számok és #én# azt jelenti # I = sqrt (-1) #.

(A fenti összetett számok alapvető meghatározása. Olvasson tovább egy kicsit ezekről.)

Sokkal hasonlít a valós számok halmazára # RR #, a komplex számok halmazát jelöljük # CC #. Ne feledje, hogy minden valós szám is komplex szám, mint bármely valós szám #x# lehet írni # X + 0I #.

Komplex számot adott # Z = a + bi #, ezt mondjuk # A # az a valódi rész a komplex szám számát jelöli # "Re" (Z) #) és # B # az a képzeletbeli rész a komplex szám számát jelöli # "Im" (Z) #).

Komplex számokkal végzett műveletek végrehajtása hasonló a binomiális műveletek végrehajtásához. Két komplex számot adott # z_1 = a_1 + b_1i # és # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (emlékezik # I = sqrt (-1) #)

# = (A_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((A_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((A_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

A felosztásra azt a tényt használtuk, hogy # (A + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Komplex számot adott # Z = a + bi # hívjuk # A-bi # a komplex konjugátum nak,-nek # Z # és jelölje meg #bar (z) # Ez hasznos tulajdonság (amint fent látható) #zbar (z) # mindig valós szám.

A komplex számok sok hasznos alkalmazással és attribútummal rendelkeznek, de gyakran előfordul, hogy a faktoring polinomokban való használatuk. Ha csak valós számokra korlátozzuk magunkat, egy polinom, mint például # X ^ 2 + 1 # nem lehet tovább figyelembe venni, de ha komplex számokat engedélyezünk, akkor van # X ^ 2 + 1 = (x + i) (X-i) #.

Valójában, ha komplex számokat engedélyezünk, akkor bármilyen egyváltozós fokozatú polinom # N # lehet írni, mint a termék # N # lineáris tényezők (esetleg egyesek ugyanazok). Ez az eredmény az úgynevezett az algebra alapvető elmélete, és amint azt a neve is jelzi, nagyon fontos az algebra számára, és széles körben alkalmazható.