Hogyan találja meg a végtelen geometriai sorozat 10 (2/3) ^ n összegét, ha n = 2?

Válasz:

A válasz is #40/9# vagy #40/3# attól függően, hogy mit jelent a kérdés.

Magyarázat:

Nos, ha #n = 2 # akkor nincs összeg, a válasz csak:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

De talán a kérdés az volt, hogy megkérjük, hogy a végtelen összeget kezdjük # N = 2 # úgy, hogy az egyenlet:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

Ebben az esetben kiszámítanánk azt, hogy először megjegyezzük, hogy bármely geometriai sorozatot úgy kell tekinteni, mintha a következő formában lenne:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

Ebben az esetben sorozatunk van #a = 10 # és #r = 2/3 #.

Azt is megjegyezzük, hogy:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Így egyszerűen kiszámíthatjuk a geometriai sorozat összegét # (2/3) ^ n # majd ezt az összeget megszorozzuk #10# hogy elérjük az eredményünket. Ez megkönnyíti a dolgokat.

Az egyenletünk is van:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Ez lehetővé teszi számunkra a sorozat összegének kiszámítását # N = 0 #. De azt akarjuk, hogy kiszámítsuk # N = 2 #. Ehhez egyszerűen kivonjuk a # N = 0 # és # N = 1 # a teljes összegből. Az összegzés első többszöri megírásával láthatjuk, hogy úgy néz ki, mint:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Láthatjuk, hogy:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 összeg_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#