Hogyan találja meg a MacLaurin f (x) = sinhx képletét, és használja azt, hogy közelítsen az f (1/2) 0,01-en belül?

Válasz:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

Magyarázat:

Ismerjük a definíciót #sinh (X) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Mivel ismerjük a Maclaurin-t # E ^ x #, használhatjuk, hogy egyet építsünk #sinh (X) #.

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Megkeressük a sorozatot # E ^ -x # helyettesítésével #x# val vel #-x#:

# E ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) X ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Ezeket a kettőt levonhatjuk egymástól, hogy megtaláljuk a # # Sinh meghatározás:

#COLOR (fehér) (- e ^ -x.) e ^ x = színű (fehér) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#COLOR (fehér) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - X ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# E ^ xe ^ -x = színű (fehér) (lllllllll) 2xcolor (fehér) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) Színes (fehér) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Láthatjuk, hogy az összes páros kifejezés megszűnik, és az összes páratlan kifejezés kettős. Ezt a mintát így képviselhetjük:

# e ^ x-e ^ -x = összeg_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

A #sinh (X) # sorozat, csak ezt kell osztanunk #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = összeg_ (n = 0) ^ oo Canc2 / (Cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = összeg_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Most ki szeretnénk számolni #f (1/2) # legalább pontossággal #0.01#. Ismerjük ezt a Lagrange-hiba általános formáját, amely egy n-edik fokú taylor-polinomhoz kapcsolódik # X = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # hol # M # az n. derivált felső határa az # C # nak nek #x#.

Esetünkben a bővítés Maclaurin sorozat # C = 0 # és # x = 1:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

A. T #sinh (X) # vagy lesz #sinh (X) # vagy #cosh (X) #. Ha figyelembe vesszük a definíciókat, látjuk ezt #cosh (X) # mindig nagyobb lesz #sinh (X) #, ezért ki kell dolgoznunk # M #-hoz kötött #cosh (X) #

A hiperbolikus kozin függvény mindig növekszik, így az intervallum legnagyobb értéke a #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Most csatlakoztatjuk ezt a Lagrange hibához kötött:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Mi akarunk # | R_n (x) | # kisebbnek kell lennie #0.01#, így próbálkozunk # N # értékek mindaddig, amíg el nem éri ezt a pontot (annál kisebb a kifejezések száma a polinomban, annál jobb). Ezt találjuk # N = 3 # az az első érték, amely kisebb, mint a #0.01#, ezért egy harmadik fokú taylor polinomot kell használnunk.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #