Mi a leggyorsabb és legegyszerűbb módszer a kubikus és kvartikus egyenletek megoldására (polinom számológép nélkül)?

Válasz:

Attól függ…

Magyarázat:

Ha a kocka vagy a kvartilis (vagy bármilyen mértékű polinom erre az esetre) racionális gyökerei vannak, akkor a racionális gyökér tétel talán a leggyorsabb módja annak, hogy megtalálja őket.

Descartes uralkodási szabálya segíthet abban is, hogy azonosítsuk, hogy a polinomiális egyenletnek pozitív vagy negatív gyökerei vannak-e, így segít a szűkítésnek.

Kubikus egyenlet esetén hasznos lehet a diszkrimináns értékelése:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Ha #Delta = 0 # akkor a kocka ismételt gyökerével rendelkezik.

• Ha #Delta <0 # akkor a köbösnek egy igazi gyökere és két nem valós komplex gyökere van.

• Ha #Delta> 0 # akkor a kölyöknek három igazi gyökere van.

Ha #Delta = 0 # akkor a köböség megosztja egy tényezőt a származékával, így a polinom GCF kiszámításával meg kell találnia közös tényezőjét.

Ellenkező esetben valószínűleg hasznos egy Tschirnhaus átalakítás alkalmazása a depressziós kocka négyzet alakú kifejezés nélkül, mielőtt továbblépnénk.

Ha egy kölyöknek van egy igazi gyökere és két nem igazi gyökere, akkor ajánlom Cardano módszerét.

Ha három valódi gyökere van, azt javaslom, hogy helyette trigonometrikus helyettesítést használjunk.

A quartics-okhoz egy kicserélhető quartic-t kaphatunk, amely nem tartalmaz kockacímet #t = x + b / (4a) #.

Ha az így létrejövő kvartikumoknak nincs lineáris kifejezésük, akkor négyzetes # X ^ 2 #. Ezt akár négyzetes formában is megoldhatja, vagy négyzet gyökereit veheti fel, vagy használhatja az űrlap faktorizálását:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Ebből négyzetes tényezőket találhatunk meg.

Ha az eredményül kapott kvázium lineáris kifejezéssel rendelkezik, akkor azt az alábbi formában lehet figyelembe venni:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Egyenlő együtthatók és használata # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, egy köbmétert nyerhetsz # A ^ 2 #. Ezért megtalálhatóak a lehetséges értékek # A #, # B # és # C #. Ezután keresse meg a négyzetes tényezők nulláit.

Vannak más speciális esetek, de ez nagyjából lefedi.