Hogyan oldja meg az 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) egyenlőtlenséget?

Válasz:

#x <- 5/2 szín (fehér) (xx) # vagy #color (fehér) (xx) -1 <x <2 #

Magyarázat:

Először is, vegye figyelembe, hogy az egyenlőtlenséged csak akkor kerül meghatározásra, ha a neveződ nem egyenlő nullával:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Most a következő lépés az lenne, hogy "megszabaduljon" a frakcióktól. Ez akkor lehetséges, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk # X + 1 # és # X-2 #.

Ugyanakkor óvatosnak kell lennie, mivel ha egy egyenlőtlenséget negatív számmal szaporít, akkor az egyenlőtlenség jeleit meg kell fordítania.

=========================================

Tekintsük a különböző eseteket:

1. eset: #color (fehér) (xxx) x> 2 #:

Mindkét #x + 1> 0 # és #x - 2> 0 # tart. Így kapsz:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… kiszámít # # -3x és #+2# mindkét oldalon…

# -2x> 5 #

… Oszd el #-2# mindkét oldalon. Mint #-2# negatív szám, meg kell fordítania az egyenlőtlenség jeleit …

#x <- 5/2 #

Azonban nincs #x# amely mindkét feltételt kielégíti #x> 2 # és #x <- 5/2 #. Tehát ebben az esetben nincs megoldás.

=========================================

2. eset: #color (fehér) (xxx) -1 <x <2 #:

Itt, #x + 1> 0 # de #x - 2 <0 #. Így egyszer meg kell fordítania az egyenlőtlenség jeleit, és megkapja:

#color (fehér) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (fehér) (x) -2x <5 #

… Oszd el #-2# és flip az egyenlőtlenség jele újra …

#color (fehér) (xxx) x> -5 / 2 #

Az egyenlőtlenség #x> -5 / 2 # igaz mindenre #x# az intervallumban # -1 <x <2 #. Így ebben az esetben a megoldásunk van # -1 <x <2 #.

=========================================

3. eset: #color (fehér) (xxx) x <-1 #:

Itt mindkét nevező negatív. Így ha az egyenlőtlenséget mindkettővel megszorozzuk, kétszer kell megfordítani az egyenlőtlenség jeleit, és megkapod:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (fehér) (i) -2x> 5 #

#color (fehér) (xxi) x <- 5/2 #

Mint feltétel #x <-5 / 2 # sokkal szigorúbb, mint a feltétel #x <-1 #, a megoldás erre az esetre #x <- 5/2 #.

=========================================

Összességében a megoldás

#x <- 5/2 szín (fehér) (xx) # vagy #color (fehér) (xx) -1 <x <2 #

vagy, ha más jelölést szeretne,

#x -ban (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Válasz:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Magyarázat:

# 1 / (x + 1)> 3 / (X-2) #

engedje el az egyenlőtlenség bal oldalát, kivonva # 3 / (X-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (X-2)> 0 #

Most meg kell tennünk minden egyenlőtlenséget ugyanazzal a nevezővel. A (x + 1) -es rész szorzata # (X-2) / (X-2) # (ami 1!) és fordítva:

# (X-2) / ((x + 1) (X-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (X-2))> 0 #

Korábban megtettük a trükköt, hogy minden egyenlőtlenség azonos nevezővel rendelkezzen:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (X-2))> 0 #.

# (X + 1) (X-2) # megfelel egy parabolának, amely pozitív értékeket ad az inetervalban # -oo, -1 uu 2, + oo # és az intervallum negatív értékei #-1, 2#. Szerkessze meg, hogy az x nem lehet -1 vagy 2 a nulla nevező megadása miatt.

Az első esetben (nevező pozitív) egyszerűsíthetjük az egyenlőtlenséget:

# -2x-5> 0 # és #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

amely megadja:

#X <-5/2 # és #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

A fenti intervallumok lehallgatása #X <-5/2 #.

A második esetben a nevező negatív, ezért a pozitív számot eredményező eredmény esetében a számlálónak negatívnak kell lennie:

# -2x-5 <0 # és # x in -1, 2 #

ami ad

#X> -5/2 #. és # x in -1, 2 #

Megadja az intervallumok elfogását # x in -1, 2 #

A két eset megoldásaival való csatlakozás:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #