Mi az f (x) = ln x függvény végső viselkedése?

#f (x) = ln (x) -> mint #X -> infty # (#ln (X) # nem nő #x# nem kötődik) és #f (x) = ln (x) -> - infty # mint #x -> 0 ^ {+} # (#ln (X) # növekszik anélkül, hogy negatív irányban kötnék #x# jobbra) megközelíti a nullát.

Az első tény igazolásához lényegében azt kell mutatnia, hogy a növekvő funkció #f (x) = ln (x) # nincs vízszintes aszimptotája #X -> infty #.

enged #M> 0 # tetszőleges pozitív szám (függetlenül attól, hogy mekkora). Ha #X> e ^ {M} #, azután #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (mivel #f (x) = ln (x) # növekvő funkció). Ez bizonyítja, hogy minden vízszintes vonal # Y = M # nem lehet vízszintes aszimptóta #f (x) = ln (x) # mint #X -> infty #. A tény, hogy a #f (x) = ln (x) # a növekvő funkció most azt jelenti, hogy #f (x) = ln (x) -> infty # mint # X-> infty #.

A második tény bizonyítására hagyd #M> 0 # tetszőleges pozitív szám legyen, hogy # -M <0 # bármely adott negatív szám (függetlenül attól, hogy milyen messze van a nulla). Ha # 0 <x <e ^ {- M} #, azután #f (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (mivel #f (x) = ln (x) # növekszik). Ez bizonyítja #f (x) = ln (x) # ha minden vízszintes vonal alá kerül, ha # 0 <x # elég közel nulla. Azt jelenti #f (x) = ln (x) -> - infty # mint #x -> 0 ^ {+} #.