Miért hasznos a tér? + Példa

Válasz:

A kvadratikus kifejezések egyszerűsítése, hogy négyzetgyökkel megoldhatóvá váljanak.

Magyarázat:

A négyzet befejezése a Tschirnhaus-transzformáció példája - a helyettesítés (bár implicit módon) használata a polinomiális egyenlet egyszerűbb formájának csökkentése érdekében.

Így adott:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # val vel #a! = 0 #

írhatnánk:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (fehér) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (fehér) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (fehér) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (fehér) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (fehér) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Ennélfogva:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Így:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Így kezdődött egy négyzetes egyenlet formájában:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

egy formába kerültünk # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # val vel #t = (2ax + b) # és # K = sqrt (b ^ 2-4ac) #a lineáris kifejezés kiküszöbölése csak négyzet alakú kifejezéseket hagy.

Mindaddig, amíg örömmel kiszámítjuk a négyzetgyöket, megoldhatunk minden kvadratikus egyenletet.

A négyzet befejezése szintén hasznos, ha egy kör, ellipszis vagy más kúpszelvény egyenletét szabványos formává alakítjuk.

Például:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

a négyzet kitöltése:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

lehetővé teszi számunkra, hogy azonosítsuk ezt az egyenletet egy kör közepén #(2, -3)# és sugár #5#.