Milyen x értéke az f (x) = x-x ^ 2e ^ -x konkáv vagy konvex?

Válasz:

Keresse meg a második származékot, és ellenőrizze annak jelét. Ez konvex, ha pozitív és konkáv, ha negatív.

Konkáv:

#x (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Konvex:

#x -ban (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Magyarázat:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -X #

Első származék:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -X)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -X #

Vesz # E ^ -x # közös tényező a következő származék egyszerűsítésére:

#f '(x) = 1 + e ^ -X * (x ^ 2-2x) #

Második származék:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -X * (x ^ 2-2x) + e ^ -X * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Most meg kell tanulnunk a jelet. A négyzetet könnyedén megoldani tudjuk:

#f '' (x) = - e ^ -X * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

A négyzetes termék létrehozása:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * A) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Ebből adódóan:

#f '' (x) = - e ^ -X * (x- (2-gyök (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Egy érték #x# e két megoldás között negatív négyzetes jele van, míg a többi érték #x# pozitívvá teszi.
• Bármilyen érték #x# gyártmányú # E ^ -x # pozitív.
• A funkció elején található negatív jel minden jelet megfordít.

Ebből adódóan, #f '' (x) # jelentése:

Pozitív, ezért konkáv:

#x (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negatív, ezért konvex:

#x -ban (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #