Mi az f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 tangens vonalának egyenlete x = 5?

Az érintővonal egyenlete a következő:

# Y = színű (narancssárga) (a) X + színes (lila) (b) #

hol # A # az egyenes vonal lejtése.

Ennek az érintővonalnak a meredeksége #f (X) # pontban # X = 5 # megkülönböztetnünk kell #f (X) #

#f (X) # az űrlap hányadosfüggvénye # (U (x)) / (v (x)) #

hol #u (x) = x-3 # és #v (x) = (X-4) ^ 2 #

#COLOR (kék) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (X)) ^ 2) #

#u '(x) = X'-3' #

#COLOR (piros) (u '(x) = 1) #

#v (X) # összetett függvény, ezért láncszabályt kell alkalmazni

enged #G (x) = x ^ 2 # és #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#COLOR (piros) (V '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#G '(x) = 2x # azután

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

# ó '(x) = 1 #

#COLOR (piros) (V '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#COLOR (piros) (V '(x) = 2 (x-4) #

#COLOR (kék) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (X)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((X-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (X-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (X-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (X-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (X-4) ^ 4 #

a közös tényező egyszerűsítése # X-4 # a számláló és a nevező között

#COLOR (kék) (f '(x) = (- x + 2) / (X-4) ^ 3) #

Mivel az érintővonal áthalad a ponton # X = 5 # így találjuk meg a lejtő értékét # A # helyettesítésével # X = 5 # ban ben # f '(x) #

#COLOR (narancssárga) (a = f '(5)) #

#A = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# A = -3/1 ^ 3 #

#COLOR (narancssárga) (a = -3) #

Tekintettel az érintési pont abszcisszájára #COLOR (barna) (X = 5) # lehetővé teszi,

lehetővé teszi az ordinátáját # Y = f (5) #

#COLOR (barna) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# Y = 2/1 #

#COLOR (barna) (y = 2) #

A tangenciás pont koordinátái #COLOR (barna) ((5; 2)) # és a lejtő #COLOR (narancssárga) (a = -3) # megkeresi #COLOR (lila) (b) #

lehetővé teszi az összes ismert érték helyettesítését az érintővonal egyenletében az érték megtalálásához #COLOR (lila) (b) #

#COLOR (barna) (y) = színű (narancssárga) (a) színes (barna) (x) + színes (lila) (b) #

# 2 = -3 (5) + színes (lila) (b) #

# 2 = -15 + színes (lila (b) #

# 17 = szín (lila) (b) #

ezért a tangens vonal egyenlete a pontban #COLOR (barna) ((5; 2)) # jelentése:

# Y = -3x + 17 #