A 39. kérdés megoldása?

Válasz:

B

Magyarázat:

Először is ki kell használnunk azt a tényt, hogy a számoknak egymást követőnek kell lenniük, úgy, hogy felhívjuk a számokat, amiket választunk # N-1, n, n + 1 #, hol tartjuk be a megszorításokat # N # közöttük kell lennie #-9# és #9# beleértve.

Másodszor, vegye figyelembe, hogy ha egy bizonyos értéket kapunk #ABC#, tudjuk cserélni ezeket a konkrét értékeket, de még mindig ugyanaz az eredmény. (Azt hiszem, ezt úgy nevezik, hogy permutálható, de elfelejti a megfelelő kifejezést)

Tehát egyszerűen elengedhetjük # Egy = N-1 #,# B = n #,# C = N + 1 #, most csatlakoztatjuk ezt:

# (A ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((N-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (N ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3N ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (N ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Most a mi problémánk látni fogja, hogy milyen értékek # -9 <= n <= 9 # a kifejezés egész értékeket ad, hány különböző értéket kapunk.

A megoldást külön válaszban fogom folytatni, hogy megkönnyítsük az olvasást.

Válasz:

A sol'n 2. része. Ez moduláris aritmetikát fog használni, de ha ismeretlen vagy, akkor mindig lehetősége van arra, hogy minden szükséges értékre beágyazódjon. # N #

Magyarázat:

Mivel a kifejezésnek egész számnak kell lennie, az alsónak pontosan meg kell osztania a tetejét. Így a számlálónak 3-as tényezővel kell rendelkeznie. Ehhez moduláris aritmetikát kell használni.

Vizsgálja meg, hogy melyik n megfelel: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Most ügyek:

1. Megpróbáljuk # N = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, ami nem működik

2. Megpróbáljuk # N = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, ami működik

3. Megpróbáljuk # N = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3K-1 #

#-=-2-=1#, ami nem működik

Tehát arra következtetünk # N # kell lennie # 3k + 1 #, vagy egy több, mint egy többszöröse 3. Figyelembe véve a mi tartományunkat, n # -9 <= n <= 9 #, a lehetséges értékek:

# N = -8, -5, -2,1,4,7 #.

Ezen a ponton lehet, hogy használhatja azt a tényt # N = 3k + 1 #, de mindössze 6 értékkel ellenőrizhető voltam, és ehelyett úgy döntöttem, hogy mindegyiket kiszámítjuk, és az egyetlen értéket # N # hogy működik # N = 1 #, az eredményt #1#.

Így végül az egyetlen szám, amely egész számot eredményez, az egész szám #0,1,2#, adom #1# ezért a válasz # B #