Integráció helyettesítéssel intsqrt (1 + x ^ 2) / x dx? Hogyan oldhatom meg ezt a kérdést?

Válasz:

#sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (ABS (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (ABS (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) +, C #

Magyarázat:

Használat # U ^ 2 = 1 + x ^ 2 #, # X = sqrt (u ^ 2-1) #

# 2u (du) / (dx) = 2x #, # Dx = (udu) / x #

#intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int (usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2DU #

# Intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = Int1 + 1 / (u ^ 2-1) du #

# 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) #

# 1 = A (u-1) + B (u + 1) #

# U = 1 #

# 1 = 2B #, # B = 1/2 #

# U = -1 #

# 1 = a-2A #, # A = -1/2 #

# Int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (ABS (u + 1)) + 1 / 2ln (ABS (u-1)) +, C #

elhelyezés # U = sqrt (1 + x ^ 2) # vissza:

#sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (ABS (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (ABS (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) +, C #