Hogyan integrálja az int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx-t trigonometrikus helyettesítéssel?

Válasz:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 (e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) +, C #

Magyarázat:

A megoldás egy kicsit hosszú!

Az adott #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Vegye figyelembe ezt # I = sqrt (-1) # a képzeletbeli szám

Tegyük félre egy komplex számot, és folytassuk az integrált számot

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

a négyzet kitöltésével és néhány csoportosítással:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Első Trigonometrikus helyettesítés: ##

Az akut szög # W # ellenkező oldallal # = E ^ x + 10 # és a szomszédos oldalon #=1# hipotenusszal =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

enged # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

és akkor

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Az integrál lesz

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

a trigonometriából #sec w = 1 / cos w # és #tan w = sin w / cos w #

Az integrál lesz

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # és

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Második trigonometrikus helyettesítés:

enged # w = 2 tan ^ -1 z #

# Dw = 2 * DZ / (1 + z ^ 2) #

és még # z = tan (w / 2) #

A jobb háromszög: az akut szög # W / 2 # ellenkező oldallal # = z #

Szomszédos oldal #=1# és hypotenuse # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Trigonometria: Félszög képletek visszahívása

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

megoldása #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Használja az identitást is #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

ebből következik, hogy

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

az integrál lesz

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Az integrált eredmények egyszerűsítése

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

A négyzet kitöltésével:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Most használja a képletet #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

enged # U = Z + 1/10 # és # A = sqrt101 / 10 # és ideértve a # I = sqrt (-1) #

Írja be a végleges választ az eredeti változók segítségével

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 (e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) +, C #