Mi a határérték, amikor x megközelíti a végtelenséget (ln (x)) ^ (1 / x)?

Elég egyszerű. Használd azt a tényt, hogy

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Akkor ezt tudod

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

És akkor történik az érdekes rész, amely kétféleképpen megoldható - intuíció és matematika használata.

Kezdjük az intuícióval.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("valami kisebb, mint x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Gondolkozzunk miért ez így?

A folytonosságának köszönhetően # E ^ x # funkciót tudunk áthelyezni:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Ennek a határértéknek a értékelése #lim_ (N-> infty) (ln (ln (x)) / x) #, használhatjuk a de l'Hospital szabályt, amely kimondja:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Ezért, amikor számítunk származékos termékeket, kapunk:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Mint származékok # 1 / (XLN (x)) # jelölő és #1# nevező számára.

Ez a korlát könnyen kiszámítható # 1 / # infty egyfajta nulla.

Ezért látod ezt

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

És ez azt jelenti #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # is.