Hogyan bővíthető a Maclaurin sorozat? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / TDT

Válasz:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Vizuális: Tekintse meg ezt a grafikonot

Magyarázat:

Nyilvánvalóan nem tudjuk értékelni ezt az integrált elemet, mivel a rendszeres integrációs technikák bármelyikét használja. Mivel azonban ez egy határozott integráció, használhatunk egy MacLaurin-sorozatot, és azt, amit a terminikus integrációnak nevezünk.

Meg kell találnunk a MacLaurin sorozatát. Mivel nem szeretnénk megtalálni a funkció n. Deriváltját, meg kell próbálnunk, és bele kell illesztenünk a már ismert MacLaurin sorozatba.

Először is, nem tetszik # # Log; szeretnénk, hogy a # Ln #. Ehhez egyszerűen alkalmazhatjuk az alap képlet változását:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Tehát:

# Int_0 ^ XLN (1-t) / (TLN (10)) dt #

Miért csináljuk ezt? Nos, most észre # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Miért olyan különleges? Jól, # 1 / (1-x) # az egyik leggyakrabban használt MacLaurin sorozat:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = összeg_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…mindenkinek #x# tovább #(-1, 1#

Szóval, ezt a kapcsolatot használhatjuk előnyünkre, és helyettesíthetjük #ln (1-t) # val vel # Int-1 / (1-t) dt #, amely lehetővé teszi számunkra, hogy ezt helyettesítsük # Ln # egy MacLaurin sorozatban. Ezt együttesen adja meg:

# ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Az integrál értékelése:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

A # T # a nevezőben:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) # #

És most, mi határozott integrálunk, amit a problémával kezdtünk:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

jegyzet: Figyeljük meg, hogy most nem kell aggódnunk, hogy nullával osztjuk meg ezt a problémát, ami egy olyan probléma, amelyet az eredeti integrandban volna a # T # a nevezőben. Mivel ezt az előző lépésben törölték, azt mutatja, hogy a folytonosság eltávolítható, ami jól működik számunkra.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # értékelték #0# nak nek #x#

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Győződjön meg róla, hogy észreveszed, hogy ez a sorozat csak az intervallumon jó #(1, 1#, mivel a fenti MacLaurin-sorozat csak ezen az intervallumon konvergens. Nézze meg ezt a grafikonot, amit azért tettem, hogy jobban megismerhessem, hogy ez miért néz ki.

Remélem, hogy segített:)