Mekkora az összeg__n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n konvergencia intervalluma? És mi az összeg x = 3?

Válasz:

# - oo, -4 "U" 5, oo "az x" konvergencia intervalluma "#

# "x = 3 nincs a konvergencia intervallumában, így az x = 3 összeg" oo #

Magyarázat:

# "Kezelje az összeget úgy, mintha geometriai sorozat lenne, a" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Akkor van" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "a" z | <1 #

# "Tehát a konvergencia intervalluma" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "VAGY" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatív)" #

# "Pozitív eset:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 és x> 5 #

# => x> 5 #

# "Negatív eset:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 és x <5 #

# => x <-4 #

# "Második rész:" x = 3 => z = 2> 1 => "összeg" oo #