Mikor használod Heron képletét a terület megtalálásához?

Használhatod, ha tudod, hogy a háromszög mindhárom oldalának hossza van.

Remélem, ez hasznos volt.

Válasz:

Heron képlete szinte mindig helytelen formulát használ; próbálkozzon Archimedes elméletével a területhez tartozó háromszögre # A # és oldalak #ABC#:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # hol # S = 1/2 (a + b + c) #

Ez az utolsó vékonyan fátyolos Heron.

Magyarázat:

Alexandria hősének az első században írt. Miért folytatjuk a tanulók kínzásának eredményét, amikor sokkal szebb modern ekvivalensek nincsenek ötletem.

Heron képlete a területre # A # egy háromszög oldala #ABC# jelentése

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # hol # S = 1/2 (a + b + c) # a félperiméter.

Kétségtelen, hogy ez a képlet félelmetes. De ez a kényelmetlen a frakció miatt, és ha a koordinátákból indulunk, akkor a négy négyzetgyök.

Csináljuk csak a matematikát. Négyszögűek vagyunk # S # amely leginkább a #16# és fontos faktorizáció. Előfordulhat, hogy először próbálja ki magát.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Ez már sokkal jobb, mint Heron formája. A frakciót a végére mentjük, és a csípőmérő jelentését már nem érdekli.

A degenerált eset szól. Ha az egyik tényező, mínusz jele nulla, akkor két oldal összeadódik pontosan a másik oldalra. Ezek a távolságok három kollináris pont között, a degenerált háromszögben, és nulla területet kapunk. Van értelme.

A # A + b + c # tényező érdekes. Ez azt jelenti, hogy ez a képlet még mindig működik, ha elmozdulásokat, aláírt hosszúságokat használunk, nem minden pozitív.

A képlet még mindig nehézkes az adott koordináták használatához. Szorozzuk ki; érdemes kipróbálni magad;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Ez a forma csak a hosszúságok négyzetétől függ. Ez egyértelműen teljesen szimmetrikus. Most már meghaladhatjuk Heront és elmondhatjuk, hogy az négyzetes hosszúság racionálisak, így a négyzetes terület is.

De ha tudjuk, jobb leszünk

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

kivonás,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Ez a legszebb forma.

Van egy aszimmetrikus kinézetű forma, ami általában a leghasznosabb. Megjegyezzük

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Ezt hozzáadta

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Ez a leghasznosabb forma. Tényleg háromféleképpen írhatunk, oldalakat cserélhetünk.

Ezeket közösen Archimedes elméletnek nevezik NJ Wildberger Rational Trigonometry-jéből.

Ha 2D-s koordinátákat adunk meg, a Shoelace Formula gyakran a leggyorsabb út a területhez, de ezt más bejegyzésekre is elmentem.