Melyek az f (x) = xsin (1 / x) aszimptot (ok) és lyuk (ok)?

Válasz:

Lásd alább.

Magyarázat:

Nos, nyilvánvalóan egy lyuk van # X = 0 #, az osztás óta #0# nem lehetséges.

A függvényt ábrázolhatjuk:

grafikon {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Nincsenek más aszimptoták vagy lyukak.

Válasz:

#f (X) # van egy lyuk (eltávolítható megszakítás) a # X = 0 #.

Vízszintes aszimptotája is van # Y = 1 #.

Nincs függőleges vagy ferde aszimptotája.

Magyarázat:

Adott:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Néhány tulajdonságot fogok használni #sin (t) #, nevezetesen:

• #abs (sin t) <= 1 "" # az összes valós értékre # T #.

• #lim_ (-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # minden értékhez # T #.

Először is jegyezzük meg #f (X) # egyenletes funkció:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Találunk:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Így:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Mivel ez az #0#, így van #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Azóta is #f (X) # egyenlő:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Vegye figyelembe, hogy #f (0) # nem definiált, mivel az osztja #0#, de mind a bal, mind a jobb oldali határok léteznek, és egyetértenek # X = 0 #, így van egy lyuk (eltávolítható megszakítás).

Azt is találjuk:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Hasonlóképpen:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Így #f (X) # vízszintes aszimptotával rendelkezik # Y = 1 #

grafikon {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}