A háromszögnek A (a, b), C (c, d) és O (0, 0) csúcsa van. Mi a háromszög körkörös körének egyenlete és területe?

Válasz:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # hol

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Magyarázat:

Általánosítottam a kérdést; lássuk, hogy ez hogyan megy. Egy vertexet hagytam az eredeten, ami egy kicsit kevésbé rendetlen, és egy tetszőleges háromszög könnyen lefordítható.

A háromszög természetesen teljesen elengedhetetlen ehhez a problémához. A körülírt kör a három ponton átnyúló kör, amely a három csúcs. A háromszög meglepő megjelenést mutat a megoldásban.

Néhány terminológia: a körülhatárolt kört háromszögnek nevezik körülírt és középpontja a háromszög circumcenter.

A kör közepének egy egyenlete # (P, q) # és négyzetes sugár # S # jelentése

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

és a kör területe #A = pi s.

Három ismeretlenünk van # P, q, s # és három pontot ismerünk, így három egyenletet kapunk:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # mert az eredet a körön van.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Megoldjuk a párhuzamos egyenleteket. Átalakítsuk őket két lineáris egyenletre a párok kiszélesítésével és kivonásával, ami vesztes # P ^ 2 + Q ^ 2 # balra és # S # jobbra.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

kivonás, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Hasonlóképpen, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Ez két egyenlet két ismeretlenben. # AX = K # megoldása van # X = A ^ {- 1} K. # Emlékszem a kettő két mátrix inverzre, amit nem tudok formázni, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Számunkra ez azt jelenti

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

és egy négyzetes sugara

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

így egy terület # Pi # ez az összeg.

Láthatjuk, hogy a kifejezés szimmetrikusabb lesz, ha figyelembe vesszük, mi történik az önkényes háromszögre # (A, B), (C, D), (E, F). # Állítottuk # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # de most nem fogok dolgozni.

Megjegyzem a # S # a háromszög oldalainak három négyzetes hosszának és a nevezőnek a eredménye # S # tizenhatszorosa a háromszög négyzetes területének.

A Rational Trigonometry-ben négyszögletes hosszúságokat hívunk quadrances és a tizenhatszor a négyzetes területet a quadrea. Megállapítottuk, hogy a körkörös sugár sugara a háromszögek négyzetének eredménye, melyet a négyzet osztott.

Ha csak a kerület körvonalaira van szükségünk, akkor itt összefoglalhatjuk az eredményt:

A kerületi kör négyzetének sugara a háromszög négyszögletes hosszának eredménye, amelyet a háromszög négyzetének tizenhatszorosa oszt meg.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #