Kérem, segítsen megkülönböztetni és egyszerűsíteni?

Válasz:

# X ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Magyarázat:

Expressz # X ^ tanx # mint e:

# X ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = D / DXE ^ (lnxtanx) #

A láncszabály használata # D / DXE ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # hol # U = lnxtanx # és # D / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (D / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Expressz # E ^ (lnxtanx) # x teljesítményként:

# E ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = X ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Használja a termékszabályt, # D / (dx) (UV) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, hol # U = lnx # és # V = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

A # # Tanx jelentése # Sec ^ 2x #

# = X ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) #

A # # LNX jelentése # 1 / x #

# = X ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Válasz:

# Dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Magyarázat:

Logaritmikus differenciálást fogunk használni - vagyis mindkét oldal természetes naplóját vesszük, és implicit módon megkülönböztetjük a w.r.t #x#

Adott: # Y = x ^ tan (x) #

Vegye ki a természetes naplót (# Ln #) mindkét oldalról:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

A természetes napló hatalmi szabályának alkalmazása #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Mindkét oldalt implicit módon különböztessük meg w.r.t #x#

# 1 / y * dy / dx = színes (kék) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Lásd az alábbi munkát)

Az RHS megkülönböztetéséhez a termékszabályt kell használni!

Nekünk van # D / dx tan (x) * ln (x) #

enged #f (x) = tan (x) # és #G (x) = ln (x) #

És így, #f '(x) = sec ^ 2 (X) # és #G '(x) = 1 / x #

A termékszabály szerint: # D / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (X) #

A helyettesítő:

# D / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Egyszerűsítése …

# D / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Visszatérve arra, amit korábban tettünk:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

El akarjuk izolálni # Dy / dx # így mindkét oldalt szaporítjuk # Y #

#cancelcolor (piros) y * 1 / cancely * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * szín (vörös) y #

# Dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * szín (vörös) y #

Mindent meg akarunk írni #x# de van ez #COLOR (piros) y # útban. Emlékezhetsz erre #COLOR (piros) y # a kezdetektől kapjuk. #COLOR (piros) (y = x ^ tan (x)) #

#:. dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #