Két koncentrikus kör sugara 16 cm és 10 cm. AB a nagyobb kör átmérője. A BD érintődik a kisebb körhöz, amely megérinti a D-t. Mi az AD hossza?

Válasz:

#bar (AD) = 23,5797 #

Magyarázat:

A származás elfogadása #(0,0)# mint a közös központ # # C_i és # # C_e és hívás # R_i = 10 # és # R_e = 16 # az érintési pont # P_0 = (x_0, y_0) # a kereszteződésen van #C_i nn C_0 # hol

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

itt # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Megoldás #C_i nn C_0 # nekünk van

# {(X ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Az első kivonása a második egyenletből

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # így

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # és # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Végül a keresett távolság

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

vagy

#bar (AD) = 23,5797 #

Magyarázat:

Ha #bar (BD) # érintő # # C_i azután #hat (ODB) = pi / 2 # így pythagorákat alkalmazhatunk:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # meghatározó # # R_0

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2 bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

A lényeg # D # koordináták # (X_0, y_0) # a keresett távolság kiszámítása előtt #bar (AD) #

Ennek számos módja van. Egy másik módszer

# Y_0 = bar (BD) sin (sapka (OBD)) # de #sin (sapka (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

azután

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # és

# X_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

A megadott adatok alapján a fenti ábra rajzolódik.

O két koncentrikus kör közös központja

#AB -> "a nagyobb kör átmérője" #

# AO = OB -> "nagyobb kör sugara" = 16 cm #

#DO -> "a kisebb kör sugara" = 10cm #

#BD -> "a kisebb kör érintője" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

enged # / _ DOB = téta => / _ AOD = (180-theta) #

Ban ben #Delta BDO-> cos / _BOD = costeta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Kozin törvény alkalmazása #Delta ADO # kapunk

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * doxX (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #