Mi az 543 négyzetgyök?

Válasz:

#sqrt (543) ~~ 23.30236 #

Magyarázat:

A. T #543# jelentése:

#543 = 3 * 181#

Mivel nincs olyan négyzetfaktorja, amely nagyobb mint #1#, a négyzetgyökere #543# nem egyszerűsíthető.

Ez egy irracionális szám # 23 = sqrt (529) # és # 24 = sqrt 576 #.

Lineárisan interpoláló, közelíthetjük:

#sqrt (543) ~~ 23+ (543-529) / (576-529) = 23 14/47 ~~ 23,3 #

A nagyobb pontosság érdekében hagyja # p_0 / q_0 = 233/10 # és iterálja a képleteket:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2p_iq_i):} #

Így:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 * 10 ^ 2 = 54289 + 54300 = 108589), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 233 * 10 = 4660):} #

Csak ez az iteráció elégséges #7# (közel #8#) számjegy:

#sqrt (543) ~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~~ 23.30236 #

Ha több pontosságot akarunk, akkor ismételten ismételd meg.

Lábjegyzet

A pontos ismétlődő ismétlődő frakció #sqrt (543) # jelentése:

# 543 = 23; bar (3,3,3,1,14,1,3,3,3,46) #

amelyből Pell egyenletének megoldása megtalálható:

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

ami teszi #sqrt (543) ~~ 669337/28724 # nagyon hatékony közelítés.